Гармонический анализ: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

57
20. ПОНЯТИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
В электронике часто удобно описать сигнал его нормированной энергией Е. Она
определяется как энергия, которую выделяет напряжение
)(xf
(или ток
)(xf
) на
сопротивлении в 1ом. Эта энергия выражается формулой
∫
∞
∞
−
= dxxfE )(
2
.
Очевидно, что равенство (10 имеет смысл только тогда, когда этот интеграл схо-
дится. Между тем, для периодических сигналов этот интеграл расходится и таким
образом определение понятия энергии теряет смысл.
В этом случае можем ввести понятие средней за определённый промежуток
энергии, т.е средней мощности.
Пусть
{}
)()(
ω
FxfF
=
. Тогда можем записать
∫
∞
∞−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
∞
∞−
=
∫
∞
∞−
= dtd
ti
eFtfdxxfE
ω
ω
ω
π
)(
2
1
)()(
2
.
Изменив порядок интегрирования, получаем
∫
∞
∞−
∫
∞
∞−
−=⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
∞
∞−
∫
∞
∞−
=
∫
∞
∞−
=
ωωω
π
ωω
ω
ω
π
dFFdxxfdd
ti
etfFdxxfE )()(
2
1
)(
2
)()(
2
1
)(
2
Если f(x) – вещественная функция, то
2
)()()(
ωωω
FFF =−
и
dfFdFdxxf
∫
∞
∞
−
=
∫
∞
∞
−
=
∫
∞
∞−
2
)(
2
)(
2
1
)(
2
ωωω
π
,
где
f
π
ω
2=
угловая чистота.
Мы получили известное равенство Парсеваля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
2
)()(
ωω
FG =
называется плотностью энерге-
тического спектра функции f(x).
Замечание. Иногда функция плотности энергетического спектра определя-
ется другим образом, например,
2
)(2)(
ωως
F=
. 
                                               57



                 20. ПОНЯТИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА
В электронике часто удобно описать сигнал его нормированной энергией Е. Она
определяется как энергия, которую выделяет напряжение f ( x) (или ток f ( x) ) на
сопротивлении в 1ом. Эта энергия выражается формулой
                                         ∞
                                     E = ∫ f 2 ( x)dx .
                                        −∞
Очевидно, что равенство (10 имеет смысл только тогда, когда этот интеграл схо-
дится. Между тем, для периодических сигналов этот интеграл расходится и таким
образом определение понятия энергии теряет смысл.
     В этом случае можем ввести понятие средней за определённый промежуток
энергии, т.е средней мощности.
      Пусть F { f ( x)} = F (ω ) . Тогда можем записать

                ∞              ∞       ⎛ 1 ∞
            E = ∫ f 2 ( x)dx = ∫ f (t )⎜      F (ω ) e iωt dω ⎞⎟dt .
                                       ⎜ 2π ∫                  ⎟
               −∞             −∞       ⎝   −∞                  ⎠
Изменив порядок интегрирования, получаем
     ∞              1 ∞         ⎛ ∞                   ∞             1 ∞
E = ∫ f 2 ( x)dx =                         iωt ⎞          2
                       ∫ F (ω )⎜⎜ ∫ f (t )e dω ⎟⎟dω ⇒ ∫ f ( x)dx =     ∫ F (ω ) F (−ω )dω
    −∞             2π −∞        ⎝− ∞            ⎠    −∞            2π −∞
                                                            2
Если f(x) – вещественная функция, то F (ω ) F (−ω ) = F (ω ) и

            ∞              1 ∞              ∞
                2                     2             2
             ∫ f ( x)dx =     ∫ F (ω ) dω = ∫ F (ω ) df ,
            −∞            2π − ∞           −∞
где ω = 2πf угловая чистота.

Мы получили известное равенство Парсеваля.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция G (ω ) = F (ω ) 2 называется плотностью энерге-
тического спектра функции f(x).
      Замечание. Иногда функция плотности энергетического спектра определя-
ется другим образом, например, ς (ω ) = 2 F (ω ) 2 .

Страницы