ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
58
В этом выражении суммируется энергия положительных и отрицательных частот.
Часто
)(
ω
G определяется выражением
2
)(
1
)(
ω
π
ω
FG = , которое определяет энер-
гию в полосе частот 1рад/сек.
ПРИМЕР. Проверить, действительно ли равенство Парсеваля для функции
),(1)( x
x
Aexf ⋅
−
=
α
0>
α
.
∆
∫
∞
∞
−
=
∫
∞
∞−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
==
α
α
2
2
2
)(
2
1
A
dx
x
AedxxfE
,
ωω
π
dFE
∫
∞
∞
−
=
2
)(
2
1
2
. Ранее мы установили, что
22
)(
ωα
ω
+
=
A
F
,
Тогда
∫
∞
∞−
=
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
αα
ω
πα
ω
ωα
π
2
2
0
2
2
22
2
1
2
A
arctg
A
d
A
E
.
Таким образом, мы получили, что
21
EE
=
.
Следует отметить, что, хотя энергетический спектр
)(
ω
G и является важной
характеристикой сигнала, всё же он менее важен, чем функция спектральной
плотности
)(
ω
F
, так как по известному
)(
ω
G
нельзя восстановить саму функцию
)(xf
из-за отсутствия информации о фазовых отношениях.
21.
ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Гармонический анализ широко используется на практике. Наиболь-
шее применение он нашел в электронике.
При анализе линейной цепи частотным методом входной сигнал с помощью
ряда или интеграла Фурье разлагается на элементарные составляющие (анализ),
после этого определяются соответствующие гармонические составляющие на вы-
ходе цепи. Затем эти
составляющие суммируются и тем самым определяется вы-
ходной сигнал (синтез).
Если на вход линейной цепи поступает периодический сигнал
()
l2=T
∑
∞
−
∞
=
⋅=
n
xin
e
n
CxS
0
1
)(
1
ω
,
58
В этом выражении суммируется энергия положительных и отрицательных частот.
1
Часто G (ω ) определяется выражением G (ω ) = F (ω ) 2 , которое определяет энер-
π
гию в полосе частот 1рад/сек.
ПРИМЕР. Проверить, действительно ли равенство Парсеваля для функции
f ( x) = Ae − αx ⋅ 1( x), α > 0.
∞ ∞ 2 A2
∆ 2 ⎛
E1 = ∫ f ( x)dx = ∫ ⎜ Ae − αx ⎞
⎟ dx = ,
⎝ ⎠ 2α
−∞ −∞
1 ∞ 2
E2 = ∫ F (ω ) dω . Ранее мы установили, что F (ω ) = A ,
2π − ∞ 2 2
α +ω
Тогда
2 ∞
1 ∞ ⎛⎜ A ⎞ 2 2
⎟ dω = A arctg ω = A .
E2 = ∫ ⎜
2π − ∞ α 2 + ω 2 ⎟ πα α 0 2α
⎝ ⎠
Таким образом, мы получили, что E1 = E2 .
Следует отметить, что, хотя энергетический спектр G (ω ) и является важной
характеристикой сигнала, всё же он менее важен, чем функция спектральной
плотности F (ω ) , так как по известному G (ω ) нельзя восстановить саму функцию
f (x) из-за отсутствия информации о фазовых отношениях.
21. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Гармонический анализ широко используется на практике. Наиболь-
шее применение он нашел в электронике.
При анализе линейной цепи частотным методом входной сигнал с помощью
ряда или интеграла Фурье разлагается на элементарные составляющие (анализ),
после этого определяются соответствующие гармонические составляющие на вы-
ходе цепи. Затем эти составляющие суммируются и тем самым определяется вы-
ходной сигнал (синтез).
Если на вход линейной цепи поступает периодический сигнал (T = 2l )
∞ inω 0 x
S1( x) = ∑ Cn ⋅ e ,
n = −∞ 1
