ВУЗ:
Составители:
30
()
()
pp
px
1
1
+
=
. Разлагая стоящую справа дробь на элементарные, получим:
()
1
11
+
−=
pp
px
. Пользуясь формулами таблицы оригиналов и изображений,
находим решение:
(
)
t
etx
−
−= 1
.
Пример 2. Найти решение уравнения
19
2
2
=+ x
dt
xd
, удовлетворяющее
начальным условиям:
0
00
=
′
= xx
при
0
=
t
.
Решение. Составим вспомогательное уравнение
()
(
)
p
ppx
1
9
2
=+
или
()
()
9
1
2
+
=
pp
px
. Разлагая эту дробь на элементарные, получим:
()
p
p
p
px
9
1
9
9
1
2
+
+
−
=
. На основании формул таблицы изображений и
оригиналов находим
()
9
1
3cos
9
1
+−= ttx
.
Пример 3. Найти решение уравнения
tx
d
t
dx
d
t
xd
=++ 23
2
2
,
удовлетворяющее начальным условиям
0
00
=
′
=
xx
при
0
=
t
.
Решение. Составим вспомогательное уравнение
()
(
)
2
2
1
23
p
pppx
=++
или
()
()
()( )
21
1
23
1
222
++
=
++
=
pppppp
px
.
Разлагая эту дробь на элементарные дроби методом неопределенных
коэффициентов, получим
()
()
24
1
1
1
4
3
2
1
2
+
−
+
+−=
ppp
p
px
. С помощью
таблицы оригиналов и изображений находим решение задачи Коши:
()
tt
eettx
2
4
1
4
3
2
1
−−
−+−=
.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций.- М.: Просвещение, 1977.-319 с.
2.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. -
М. : Наука, 1984.-432 с.
30
1
x( p) =
( p + 1) p . Разлагая стоящую справа дробь на элементарные, получим:
1 1
x( p) = − . Пользуясь формулами таблицы оригиналов и изображений,
p p +1
находим решение: x(t ) = 1 − e .
−t
d 2x
Пример 2. Найти решение уравнения + 9 x = 1 , удовлетворяющее
dt 2
начальным условиям: x0 = x0′ = 0 при t = 0 .
Решение. Составим вспомогательное уравнение x ( p ) p + 9 = ( 2
) 1
p
или
1
x( p) =
p( p 2 + 9)
. Разлагая эту дробь на элементарные, получим:
1 1
− p
x ( p ) = 29 + 9 . На основании формул таблицы изображений и
p +9 p
1 1
оригиналов находим x (t ) = − cos 3t + .
9 9
d 2x dx
Пример 3. Найти решение уравнения 2
+ 3 + 2x = t ,
dt dt
удовлетворяющее начальным условиям x0 = x0′ = 0 при t = 0 .
Решение. Составим вспомогательное уравнение x ( p )( p + 3 p + 2 ) = 2
2 1
p
1 1
или x ( p ) = 2 2 = 2
p ( p + 3 p + 2 ) p ( p + 1)( p + 2 )
.
Разлагая эту дробь на элементарные дроби методом неопределенных
1 3 1 1
коэффициентов, получим x ( p ) = − + − . С помощью
2p 2
4 p p + 1 4( p + 2 )
таблицы оригиналов и изображений находим решение задачи Коши:
1 3 1
x(t ) = t − + e −t − e − 2 t .
2 4 4
ЛИТЕРАТУРА
1. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций.- М.: Просвещение, 1977.-319 с.
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. -
М. : Наука, 1984.-432 с.
