ВУЗ:
Составители:
28
4
t
е
λ
λ
−р
1
5 Sh ωt
22
ω
ω
−р
6 Ch
ω
t
22
ω
−р
р
7
tе
t
ω
λ
sin
()
2
2
ωλ
ω
+−p
8
tе
t
ω
λ
cos
()
2
2
ωλ
λ
+−
−
p
p
9
n
t
1
!
+n
p
n
10 t sin ωt
()
2
22
2
ω
ω
+р
р
11 t cos ωt
()
2
22
22
ω
ω
+
−
р
р
Пусть требуется найти частное решение следующего линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
()
()
()
(
)()
(
)
(
)
,...
1
1
10
tftxatyxatxatxа
nn
nn
=++++
−
−
(3)
удовлетворяющее начальным условиям Коши,
() ()
()
(
)
,1
1
10
0,...,0,0
−
−
==
′
=
n
n
xxxxxx
где
n
aaaa ,...,,,
210
- постоянные числа
(коэффициенты),
1210
,...,,,
−n
xxxx
- заданные постоянные значения
(начальные условия);
()
tf
- непрерывная функция действительного
переменного t, являющаяся оригиналом. Искомую функцию у(t) вместе с ее
производными до n-го порядка включительно будем предполагать также
непрерывными оригиналами. Для нахождения решения дифференциального
уравнения (1) умножим обе части этого уравнения на
pt
e
−
и проинтегрируем
по переменному t в пределах от 0 до
∞
:
()
()
()
() () () ()
∫∫ ∫∫∫
∞∞ ∞∞∞
−−−
−
−−−
=+
′
+++
00 000
1
1
10
.... dtetfdtetxadtetxadtetxadtetxa
ptpt
n
pt
n
ptnptn
(2)
В левой части равенства стоят изображения функции х(t) и ее производных,
справа изображение
()
tf
, которое обозначим через F(p). Следовательно,
28
4 е λt 1
р−λ
5 Sh ωt ω
р −ω2
2
6 Ch ω t р
р −ω 2
2
7 е λt sin ω t ω
( p − λ )2 + ω 2
8 е λt cosω t p−λ
( p − λ )2 + ω 2
9 tn n!
p n+1
10 t sin ωt 2 рω
( р + ω 2 )2
2
11 t cos ωt р2 − ω 2
( р 2 + ω 2 )2
Пусть требуется найти частное решение следующего линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
а 0 x (n ) (t ) + a1 x (n −1) (t ) + ... + a n −1 yx(t ) + a n x(t ) = f (t ), (3)
удовлетворяющее начальным условиям Коши,
x(0) = x0 , x ′(0) = x1 ,..., x (n −1) (0) = x n −1, где a 0 , a1 , a 2 , ... , a n - постоянные числа
(коэффициенты), x0 , x1 , x 2 ,..., x n −1 - заданные постоянные значения
(начальные условия); f (t )- непрерывная функция действительного
переменного t, являющаяся оригиналом. Искомую функцию у(t) вместе с ее
производными до n-го порядка включительно будем предполагать также
непрерывными оригиналами. Для нахождения решения дифференциального
− pt
уравнения (1) умножим обе части этого уравнения на e и проинтегрируем
по переменному t в пределах от 0 до ∞ :
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
a0 ∫ x (n )
(t )e − pt
dt + a1 ∫ x (n −1)
(t )e − pt
dt + ... + an−1 ∫ x′(t )e − pt
dt + an ∫ x(t )e − pt
dt = ∫ f (t )e − pt dt.
0 0 0 0 0
(2)
В левой части равенства стоят изображения функции х(t) и ее производных,
справа изображение f (t ) , которое обозначим через F(p). Следовательно,
