Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 26 стр.

                                                   26

   Непосредственно из свойств интегралов получаем:
  1. Свойство линейности. Для любых (комплексных) постоянных α и β
         α f (t )+ β g (t ) ↔ α F ( p ) + β G ( p ).
На основании этого свойства, например, сразу получаем из формул (2)
соотношения
                 e iωt − e − iωt     1⎛ 1            1 ⎞         ω
       sin ω t =                  ↔ ⎜⎜            −       ⎟⎟ = 2    .
                       2i            2i ⎝ p − iω p + iω ⎠ p + ω 2
Аналогично,
                         p                         ω                p
       cos ω t ↔ 2                , sh ω t ↔ 2         , chω t ↔ 2       .
                    p +ω        2
                                               p −ω  2
                                                                  p −ω 2
                                                                           ⎛ p⎞
  2. Теорема подобия. Для любого постоянного α>0 f(αt)↔F ⎜ ⎟.
                                                                           ⎝α ⎠
  В самом деле, полагая αt=τ, имеем:
               ∞
                                     1∞         p
                                                       1 ⎛ p⎞
   f (α t ) ↔ ∫ f (α t )e dt = ∫ f (τ )e dτ = F ⎜ ⎟.
                                               − τ
                          − pt                  α

               0                    α0                α ⎝α ⎠
  3. Дифференцирование оригинала. Если f ′(t ) или вообще                             f ( n ) (t ) является
      оригиналом, то
   f ′(t ) ↔ pF ( p ) − f (0 ), или
   f ( n ) (t ) ↔ p n F ( p ) − p n−1 f (0 ) − p n−2 f ′(0 ) − ... − f ( n−1) (0 ),
  где под f
                 (k )
                        (0) понимается правое предельное значение lim f ( ) (t ).          k

                                                                                t → +0
  4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения
     сводится к умножению на –t оригинала, или вообще
        F ( n ) ( p ) ↔ (− 1) t n f (t ).
                                   n


  5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к
     делению изображения на р
   t
                        F ( p)
  ∫    f (t )dt ↔              .
  0                       p
        Двойственным к свойству 5 является свойство
                                                                      ∞

   6. Интегрирование изображения. Если интеграл                       ∫ F ( p )dp сходится, то он
                                                                      p

                                                         f (t )                f (t )          ∞

  служит        изображением           функции                  :                     ↔ ∫ F ( p )dp,
                                                           t                     t             p

  (интегрирование изображения равносильно делению на t оригинала).
                                                                     1   1
       Пример 1. Имеем по свойству 1: e − e ↔                          −
                                                    bt       at
                                                                            . Пользуясь
                                                                    p−b p−a
  свойством 6, получаем: