Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 25 стр.

                                      25

  3. f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие
     постоянные М > 0, s0≥0, что для всех t f (t ) < Me . Число s0 называют
                                                               s0 t


     показателем роста функции f(t).
С точки зрения физических приложений условия 1 и 3 не нуждаются в
пояснениях – они, очевидно, выполняются для большинства функций,
описывающих физические процессы (t интерпретируется как время). Условие 2
на первый взгляд кажется искусственным. Однако следует иметь в виду, что
операционный метод приспособлен к задачам, приводящим к решению
дифференциальных уравнений с данными начальными условиями, и для
физики совершенно безразлично, как ведут себя искомые функции до
начального момента, который, конечно, всегда можно принять за момент t = 0.
Таким образом, и условие 2 физически вполне естественно.
Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функ-
                                          ⎧1, t > 0,
ция                              η (t ) = ⎨
                                          ⎩0, t < 0.
   Очевидно, умножение функции φ(t) на η(t) «гасит» эту функцию для t<0 и
оставляет ее без изменений для t>0.
   Изображением функции f(t) (по Лапласу) называют функцию комплексного
переменного р=s+iσ, определяемую соотношением
                                              ∞

                                   F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt ,       (1)
                                              0
где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу: «функция f(t) имеет
своим изображением F(p)» будем записывать символом f (t ) ↔ F ( p ).
   Теорема 1. Для всякого оригинала f(t) изображение F(p) определено на
полуоси Re p > s0, где s0 – показатель роста f(t), и является в этой
полуплоскости аналитической функцией.
   Замечание 1. Интеграл Лапласа (1), вообще говоря, определяет изображение
F(p) лишь в полуплоскости Re p > s0. Между тем в большинстве практических
задач область определения изображения значительно шире этой полуплоскости.
   Замечание 2. Если точка р стремится к бесконечности так, что Re p = s
неограниченно возрастает, то F(p) стремится к нулю.
   Теорема 2. Оригинал f(t) вполне определяется своим изображением F(p) с
точностью до значений в точках разрыва f(p).
   Значения оригинала в точках разрыва, очевидно, не влияют на изображение.
   Рассмотрим ряд простых предложений, составляющих аппарат
операционного метода. Прежде всего отметим два простых примера
преобразования Лапласа
                                1             1
                           1 ↔ , е р0t ↔            ,                  (2)
                                р           p − p0
которые получаются непосредственно из его определения (формула (1)).
   Далее мы всюду будем обозначать через f(t), g(t), … оригиналы и через F(p),
G(p), … - их изображения.