Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 23 стр.

                                                 23

                                           1            d K −1
                 Res f ( z ) = C −1 =            lim K −1 [( z − z 0 ) K f ( z )]
                 z = z0                ( K − 1)! z → z0 dz
  откуда, в частности, для полюса первого порядка получим
                            Res f ( z ) = C −1 = lim( z − z 0 ) f ( z )
                                    z = z0            z → z0

                                                           ϕ( z )
  Если z0 – полюс первого порядка функции f ( z ) =               , где ϕ(z),ψ(z) –
                                                           ψ( z )
аналитические функции в окрестности z0, причем ϕ(z)≠0, ψ(z0)=0, но ψ'(z)≠0, то
                                                ϕ( z 0 )
                                  Res f ( z ) =
                                  z = z0        ψ' ( z 0 )
  Сформулируем основную теорему о вычетах.
  Теорема. Пусть функция f(z) – аналитична в области G, кроме конечного
числа особых точек z1, z2, …, zN и аналитична на Г – границе области G,
ориентированной положительно относительно области G.
                              N

  Тогда   ∫   f ( z )dz = 2πi ∑ Res f ( z ) .
                                    z = zK
          Г                  K =1

    Пусть f(z) аналитична в некоторой окрестности ∞, R<|z|<∞. Пусть Г –
жорданов замкнутый спрямляемый контур, причем f(z) аналитична на Г и во
внешности Г не имеет конечных особых точек, и Г положительно ориентирован
относительно внешности (что соответствует обходу Г по часовой стрелке).
    Вычетом функции f(z) в бесконечно удаленной точке назовем
               1
              2πi ∫Г
Res f ( z ) =        f ( z )dz . Отсюда следует, что Res f ( z ) = −C −1 , где С–1 –
 z =∞                                                z =∞
                         1
коэффициент при −          в лорановском разложении f(z) в окрестности ∞.
                         z
  Замечание. Если правильная точка функции f(z), z0≠∞, то Res f ( z ) = 0 , если
                                                          z=z                0

                                                               1
z0=∞, то может случиться, что Res  f ( z ) ≠ 0 . Например, f ( z ) =
                                                                   , точка z=∞
                              z =∞                           1− z
правильная, однако вычет в этой точке отличен от нуля. В самом деле,
           1 1        1 ∞ 1    1 1
 f ( z) = − ⋅      = − ∑ n = − − 2 − ... , т.е. Res 1 = −C −1 = 1 . Используя
           z     1    z n =0 z z z              z =∞ 1 − z
              1−
                 z
определение вычета в ∞, сформулируем следующее утверждение.
   Теорема. Сумма всех вычетов однозначной аналитической функции,
имеющей в расширенной плоскости одни только изолированные особые точки,
равна нулю.
                                     1

  Пример. Найти Res   z ⋅e          z −1
                                             .
                 z =1
  Решение.