Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 24 стр.

                                                  24

    Разложение этой функции в ряд Лорана в окрестности точки z=1, имеет вид:
     1             ∞
                         n+2             1
ze z −1 = z + 1 + ∑                               , z −1 > 0 .
                  n =1 ( n + 1)! ( z − 1)
                                               n


   Из этого разложения следует, что точка z=1 является существенно особой
                             3                          1        3
точкой, и что C −1 = , т.е. Res                  ze          = .
                             2            z =1       z −1 2
                                 cos z − 1
   Пример. Найти Res      z = 0 z 2 sin z
                                               .
   Решение.
   В точке z=0 данная функция имеет полюс первого порядка, так как
                                       z                    z
             2               z 2 cos                 z cos
   1       z sin z                     2 = −z               2 = zϕ( z )
        =            =−                                                   , где
 f ( z ) cos z − 1                   z                     z
                               sin                    sin
                                    2                      2
                  z
          − z cos
ϕ( z ) =          2 и lim ϕ( z ) = −2                                                      1         1
                z                                ;  Res   f ( z ) = l im zf  ( z ) = l im        = −
                         z →0                        z =0           z →0             z →0 ϕ( z )     2
            sin
                2
                                          dz
   Пример. Вычислить ∫ 2                           .
                                  z =2 z + 1

   Решение.
                                   1
   Аналитическая функция                  имеет в расширенной плоскости три
                                z +1    2

изолированные особые точки z1=i, z2= –i, z3=∞ (точки z = ± i – полюсы первого
порядка). Поскольку вне круга |z|≤2 содержится лишь одна особая точка,
воспользуемся формулой
                     dz           dz                     1
             ∫z =2 z 2 + 1 z∫=2 z 2 + 1
                          = −           = − 2 πi Res
                                                 z =∞ z 2 + 1
                                                              = 2πiC −1 = 0

           1           1       1 ∞ (−1) n  1   1
так как z 2 + 1 = 2          = 2 ∑ + 2 n = 2 − 4 + ...   z >1
                         1    z         z  z   z
                  z (1 + 2 )     n=0
                         z
  9. Операционный метод и его приложения
  Функцией-оригиналом называют любую комплексную функцию f(t)
действительного переменного t, удовлетворяющую следующим условиям:
  1. f(t) непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого
     порядка на всей оси, кроме отдельных точек, в которых эта функция или
     ее производные терпят разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном
     интервале таких точек имеется лишь конечное число.
  2. f(t) = 0 для всех отрицательных t.