Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

22
Выполнив преобразование
z
1
=ζ
, мы сведем изучение функции f(z) к
изучению функции
)
1
()(
ζ
=ζ
∗
ff
в окрестности точки
R
1
,0 =ζ=ζ
.
В зависимости от того, будет ли тогда ζ=0 правильной точкой, полюсом
порядка К или существенно особой точкой для f
*
(ζ), мы будем называть точку
z=∞ соответственно правильной, полюсом К-го порядка или существенно
особой для функции f(z).
Пример.
Найти изолированные особые точки функции
iz
e
zz
z
zf
+
+
=
1
2
)1(
sin
)(
и
определить их тип.
Решение.
Найдем точки, где функция f(z) не определена. Такими точками являются
точки z
1
=0, z
2
= +i, z
3
= –i, z
4
=∞.
Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:
а) z
1
=0, так как
1
1
22
00
)1(
1sin
)(
−
+
→→
=
+
⋅= ee
z
z
z
imzfim
iz
zz
ll
, то точка z
1
=0
является правильной для функции f(z) и положив f(0)=e
–1
, получим
аналитическую при |z|<1 функцию.
б) Остальные точки исследовать самостоятельно.
8. Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Пусть точка z
0
≠∞ есть изолированная особая точка функции f(z). Тогда
существует проколотая окрестность
)(U
0
z
δ
•
в которой f(z) аналитична и
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf )()(
0
.
Вычетом функции f(z) в точке z
0
называется число, обозначаемое символом
)(Res
0
zf
zz=
и определяемое равенством
∫
π
=
=
Г
zz
dzzf
i
zf )(
2
1
)(Res
0
, где Г –
жорданова замкнутая спрямляемая кривая, ориентированная против часовой
стрелки, содержащая точку z
0
внутри и принадлежащая
)(U
0
z
δ
•
.
Замечание. В качестве контура Г можно взять окружность с центром в z
0
достаточно малого радиуса. Из теоремы Лорана следует, что
1
)(Res
0
−
=
= Czf
zz
. В
случае, если точка z
0
является полюсом функции f(z) порядка К, то, так как ряд
Лорана в окрестности точки z
0
имеет вид
∑
∞
=
−
−
−
−
−++−++−=
1
00
1
010
)()(...)()(
n
n
n
K
K
zzCCzzCzzCzf
Коэффициент С
–1
может быть найден по следующей формуле: 
                                                           22

                                          1
   Выполнив преобразование ζ =              , мы сведем изучение функции f(z) к
                                          z
                         ∗             1                                         1
изучению функции f (ζ ) = f ( ) в окрестности точки ζ = 0, ζ = .
                                       ζ                                         R
  В зависимости от того, будет ли тогда ζ=0 правильной точкой, полюсом
порядка К или существенно особой точкой для f*(ζ), мы будем называть точку
z=∞ соответственно правильной, полюсом К-го порядка или существенно
особой для функции f(z).
                                                                                              1
                                                                                  sin z
  Пример. Найти изолированные особые точки функции f ( z ) =
                                                                                             z +i
                                                                                            e и
                                                                               z ( z 2 + 1)
определить их тип.
  Решение.
  Найдем точки, где функция f(z) не определена. Такими точками являются
точки z1=0, z2= +i, z3= –i, z4=∞.
  Исследуем поведение функции в окрестности этих точек:
                                                           1
                                         sin z      1
                    l im
  а) z1=0, так как z →0   f ( z ) = l im       ⋅        e z +i
                                                               = e −1 , то точка z1=0
                                    z →0   z ( z + 1)
                                                  2   2


является правильной для функции f(z) и положив f(0)=e–1, получим
аналитическую при |z|<1 функцию.
  б) Остальные точки исследовать самостоятельно.
  8. Вычеты. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
  Пусть точка z0≠∞ есть изолированная особая точка функции f(z). Тогда
                                                       •
существует проколотая окрестность U δ ( z 0 ) в которой f(z) аналитична и
              ∞
 f ( z) =   ∑C
            n = −∞
                     n   ( z − z0 ) n .

    Вычетом функции f(z) в точке z0 называется число, обозначаемое символом
                                                     1
                                                    2πi ∫Г
Res f ( z ) и определяемое равенством Res f ( z ) =        f ( z )dz , где Г –
z= z
   0
                                      z = z0

жорданова замкнутая спрямляемая кривая, ориентированная против часовой
                                                                                   •
стрелки, содержащая точку z0 внутри и принадлежащая U δ ( z 0 ) .
  Замечание. В качестве контура Г можно взять окружность с центром в z0
достаточно малого радиуса. Из теоремы Лорана следует, что Res f ( z ) = C −1 . В              z = z0

случае, если точка z0 является полюсом функции f(z) порядка К, то, так как ряд
Лорана в окрестности точки z0 имеет вид
                                                                                       ∞
                  f ( z ) = C − K ( z − z 0 ) − K + ... + C −1 ( z − z 0 ) −1 + C 0 + ∑ C n ( z − z 0 ) n
                                                                                       n =1
   Коэффициент С–1 может быть найден по следующей формуле:

Страницы