Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

21
правильной точке z
0
значением f(z
0
)=α, получим аналитическую функцию в
круге |z–z
0
|<R.
2. В противном случае, т.е. если не существует конечного предела функции
f(z) при z→z
0
точку z
0
будем называть изолированной особой точкой
однозначного характера, причем
а) если
∞
=
→
)(
0
zfim
zz
l
то точка z=0 называется полюсом функции f(z);
б) если не существует ни конечного, ни бесконечного
)(
0
zfim
zz→
l
, точка z
0
называется
существенно особой точкой для функции f(z).
Пусть z
0
– правильная точка, тогда ее разложение в ряд Лорана в окрестности
точки z=z
0
содержит только правильную часть, т.е.
∑
∞
=
−=−+−+=
0
00010
)(...)()...()(
n
n
n
n
n
zzCzzCzzCCzf
.
Пусть, кроме того,
0)(и0)(...)(')(
0
)(
0
)1(
00
≠====
−
zfzfzfzf
KK
. Тогда
будем говорить, что функция f(z) имеет в точке z
0
нуль порядка (кратности) K.
Если в точке z
0
функция f(z) имеет нуль порядка К, то в ее разложении в ряд
Тейлора будут отсутствовать первые К членов, а именно:
),()()()(
)(....)()()(
000
0
1
010
zzzzzCzz
zzCzzCzzCzf
K
Kn
Kn
n
K
Kn
n
n
K
K
K
K
ϕ
−=−−=
−=+−+−=
∑
∑
∞
=
−
∞
=
+
+
где ϕ(z) – аналитическая при |z–z
0
|<R функция и ϕ(z
0
)≠0.
Если К=1, то точка z
0
называется простым нулем.
Справедлива теорема: для того, чтобы точка z
0
была полюсом функции f(z),
необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функции
)(
1
zf
.
Точку z
0
называют полюсом порядка k для функции f(z), если она является
нулем порядка k для функции
)(
1
zf
.
Точка z
0
является полюсом порядка k функции f(z) тогда и только тогда, когда
главная часть ее разложения в ряд Лорана содержит К членов, т.е.
∑
∞
=
−
−+
−
−
++
−
+−
+
−
−
=
0
0
0
1
00
)(
1
...
)(
1
)(
)(
n
n
n
KK
zzC
zz
C
zz
KC
zz
KC
zf
, С
–К
≠0, 0<|z–z
0
|<R.
Если точка z
0
не является ни правильной, ни полюсом для функции f(z), то
она является существенно особой, и главная часть ряда Лорана по степеням z–z
0
функции f(z) содержит бесконечное число членов.
Случай бесконечно удаленной точки.
Рассмотрим однозначную функцию
f(z), аналитическую вне круга |z|>R, за исключением, быть может, бесконечно
удаленной точки. 
                                                         21

правильной точке z0 значением f(z0)=α, получим аналитическую функцию в
круге |z–z0|R, за исключением, быть может, бесконечно
удаленной точки.

Страницы