Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

19
)()()()( AFBFdzzfdzzdf
B
AГ
−==
∫∫
где А и В – начало и конец пути интегрирования, а F(z) – первообразная для f(z).
Следовательно, будет справедлива и формула интегрирования по частям
∫∫∫
−⋅=⋅=⋅
Г
B
A
Г
B
A
Г
zduzvzvzuzdvzuzvzuzvzud )()()()()()(или)()())()((
Интегральная формула Коши.
Пусть f(z) – функция, однозначная и аналитическая в области G и на ее
границе Г, состоящей из одного или нескольких спрямляемых контуров,
ориентированных положительно относительно области G. Тогда для всякой
точки z
0
∈G справедлива интегральная формула Коши:
(
)
∫
Γ
−
=
ς
ς
ζ
π
d
z
f
i
zf
0
0
2
1
)(
Кроме того, справедливо более сильное утверждение. Во всякой точке z
0
,
принадлежащей области G, аналитическая функция f(z) имеет производные
любого порядка, причем они выражаются по формуле:
∫
+
−ζ
ζ
ζ
π
=
Г
n
n
z
df
i
n
zf
1
0
0
)(
)(
)(
2
!
)(
, n=1,2,…
Пример.
Вычислить интеграл
∫
+ζ
ζ
Г
d
1
2
, где
а)
2
1
1: =−ζГ
; б)
2
1
: =−ζ iГ
; в)
2
1
: =+ζ iГ
; г)
2: =ζГ
.
7. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные
особые точки однозначного характера.
Теорема Лорана.
Пусть функция f(z) – однозначная и аналитическая в
кольце
RzzrG <−<
0
:
. Тогда в каждой точке этого кольца она
единственным образом представляется сходящимся рядом Лорана
∑
+∞
∞−
−=
n
n
zzCzf )()(
0
где
∫
ζ
−ζ
ζ
π
=
+
Г
n
n
d
z
f
i
C
1
0
)(
)(
2
1
, n=0, ±1, …, а Г – окружность
Rrz <ρ<ρ=−ζ ,
0
.
∑
−
−∞=
−
1
0
)(
n
n
n
zzC
– главная часть ряда Лорана,
∑
+∞
=
−
0
0
)(
n
n
n
zzC
– правильная
часть ряда Лорана.
Замечание.
Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда в
последнем отсутствует главная область (C
n
=0, n=1,2,…) 
                                                              19

                                                        B
                                  ∫Г
                                       df ( z )dz = ∫ f ( z )dz = F ( B) − F ( A)
                                                        A
где А и В – начало и конец пути интегрирования, а F(z) – первообразная для f(z).
Следовательно, будет справедлива и формула интегрирования по частям
  ∫    d (u ( z ) ⋅ v( z )) = u ( z ) ⋅ v( z ) A или ∫ u ( z )dv( z ) = u ( z ) ⋅ v( z ) A − ∫ v( z )du( z )
                                              B                                           B
   Г                                                     Г                                     Г


  Интегральная формула Коши.
  Пусть f(z) – функция, однозначная и аналитическая в области G и на ее
границе Г, состоящей из одного или нескольких спрямляемых контуров,
ориентированных положительно относительно области G. Тогда для всякой
точки z0∈G справедлива интегральная формула Коши:
                                            1       f (ζ )
                                f (z0 ) =      ∫
                                           2πi Γ ς − z 0
                                                           dς

  Кроме того, справедливо более сильное утверждение. Во всякой точке z0,
принадлежащей области G, аналитическая функция f(z) имеет производные
любого порядка, причем они выражаются по формуле:
                                     n!        f ( ζ ) dζ
                     f (n) ( z0 ) =       ∫
                                    2πi Г (ζ − z 0 ) n +1
                                                            , n=1,2,…

                                        dζ
  Пример. Вычислить интеграл ∫Г 2             , где
                                      ζ +1
                    1                     1                        1
  а) Г : ζ − 1 = ; б) Г : ζ − i = ; в) Г : ζ + i = ; г) Г : ζ = 2 .
                    2                     2                        2
  7. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные
  особые точки однозначного характера.
  Теорема Лорана. Пусть функция f(z) – однозначная и аналитическая в
кольце G : r < z − z 0 < R . Тогда в каждой точке этого кольца она
единственным образом представляется сходящимся рядом Лорана
                                                             +∞
                                                  f ( z) = ∑ Cn ( z − z0 ) n
                                                             −∞

             1        f (ζ )
            2πi ∫Г (ζ − z 0 ) n +1
  где C n =                        dζ , n=0, ±1, …, а Г – окружность

ζ − z 0 = ρ, r < ρ < R .
      −1                                                               +∞

   ∑ C n ( z − z 0 ) n – главная часть ряда Лорана,
  n = −∞
                                                                       ∑C
                                                                       n=0
                                                                               n   ( z − z 0 ) n – правильная

часть ряда Лорана.
  Замечание. Ряд Тейлора является частным случаем ряда Лорана, когда в
последнем отсутствует главная область (Cn=0, n=1,2,…)

Страницы