Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 17 стр.

                                                17

концом в точке z(β). Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с
концом.
  Справедливы следующие утверждения.
  Два параметрических уравнения z = z (t ), α ≤ t ≤ β и z = z1 (t1 ), α1 ≤ t1 ≤ β1
определяют одну и туже жорданову кривую в том и только в том случае, если
существует действительная функция t1=ϕ(t), непрерывная и монотонно
возрастающая на отрезке [α, β] и ϕ(α) = α1 , ϕ(β) = β1 , z (t ) = z1 (ϕ(t )), α ≤ t ≤ β .
  Теорема Жордана. Каждая замкнутая жорданова кривая Г делит всю
плоскость на две различные области G1 и G2, общей границей которых она
является, причем та из областей, которая содержит бесконечно удаленную
точку, называется внешностью Г, а другая (ограниченная область) –
внутренностью Г.
  Внутренность жордановой кривой обладает замечательным свойством: для
любой замкнутой жордановой кривой, лежащей в этой области, ее внутренняя
часть также принадлежит этой области. Всякую область, обладающую этим
свойством, называют односвязной.
  Пусть f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) – однозначная и непрерывная в области G
функция, а z = z (t ), α ≤ t ≤ β – кусочно-гладкая кривая Г, лежащая в этой
области.
  Разобьем отрезок [α,β] точками t 0 = α < t1 < .. < t n = β на n частей, что
индуцирует разбиение нашей кривой Г точками z0, z1, z2, …,zn. Аналогично
тому, как делалось в математическом анализе, построим интегральную сумму,
соответствующую этому разбиению:
                                   n −1

                                   ∑ f (ζ
                                   k =0
                                            k   )( z k +1 − z k ) ,

  где ζk=z(τk), tk≤τk≤tk+1.
  Предел этих интегральных сумм при неограниченном измельчении
разбиения (если он не зависит от способа измельчения разбиения и выбора
промежуточных точек) называется интегралом от функции f(z) по кривой Г и
обозначается ∫ f ( z )dz .
                 Г
  Из этого определения вытекает следующее свойство интеграла по
комплексному переменному:
                          ∫ f ( z)dz = − ∫ f ( z)dz
                                  Г+                  Г−
        +    –
  где Г и Г один и тот же путь, проходимый в противоположных
направлениях.
  Вычисление интеграла по комплексному переменному сводится к
вычислению обычных криволинейных интегралов II рода от действительных
функций, а именно:
             ∫ f ( z )dz = ∫ u ( z, y)dx − v( x, y)dy + i ∫ v( x, y)dx + u ( x, y)dy
                 Г         Г                                 Г