Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

18
Эту формулу легко запомнить, если переписать ее в виде:
∫∫
++=
ГГ
idydxivudzzf ))(()(
Из курса анализа известно, что такие криволинейные интегралы сводятся к
обычным интегралам Римана по отрезку [α,β], т.е.
∫
∫∫
++
+−=
β
α
β
α
dttytytxutxtytxvi
dttytytxvtxtytxudzzf
Г
))('))(),(()('))()),(((
))('))(),(()('))()),((()(
Отсюда следует, что все обычные свойства интегралов справедливы и для
интегралов от функций комплексного переменного.
Пример.
Вычислить интеграл
∫
++
Г
dzizz )2(
, где Г – дуга параболы y=x
2
,
соединяющая точка z=0 и z=1+i.
Решение.
ixxi
xx
dxxidxxx
dxxxidxxxx
xdydxyidyyxdxdzizz
ГГГ
3
10
)
3
7
()
22
()17()2(
)6)1(())1(23(
3)1()1(3)2(
1
0
3
1
0
42
1
0
2
1
0
3
1
0
22
1
0
2
=++−=++−=
=++++−
=++++−=++
∫∫
∫∫
∫∫∫
Интегральная теорема Коши. Если G – односвязная область конечной
плоскости и f(z) – однозначная аналитическая функция, то
для любой замкнутой спрямляемой кривой Г, лежащей в
области
∫
=
Г
dzzf 0)(
.
Теорему Коши можно распространить и на случай
многосвязной области. Пусть f(z) аналитична в
многосвязной области D. Пусть
G – замкнутая область,
принадлежащая D, и граница G состоит из конечного
числа замкнутых жордановых спрямляемых кривых Г
0
,
Г
1
, …Г
n
, причем все кривые Г
0
,…Г
n
находятся во внутренности Г
0
(рис. 4).
Обозначим через Г составной контур, состоящий из контуров Г
0
, Г
1
, …Г
n
,
каждый из которых положительно ориентирован относительно области G (т.е.
при обходе область G остается слева). При этих предположениях
∫
=
Г
dzzf 0)(
.
Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл от
аналитической функции не зависит от пути интегрирования, принадлежащего
односвязной области, а зависит лишь от начала и конца пути интегрирования, и
справедлива формула Ньютона-Лейбница
Г
1
Г
2
Г
0
Рис.4
G
                                                               18

  Эту формулу легко запомнить, если переписать ее в виде:
                         ∫ f ( z)dz = ∫ (u + iv)(dx + idy)
                                               Г           Г
  Из курса анализа известно, что такие криволинейные интегралы сводятся к
обычным интегралам Римана по отрезку [α,β], т.е.
                                           β

                        ∫
                        Г
                            f ( z )dz = ∫ (u ( x(t )), y (t )) x' (t ) − v( x(t ), y (t )) y ' (t ))dt +
                                           α
                             β
                        + i ∫ (v( x(t )), y (t )) x' (t ) + u ( x(t ), y (t )) y ' (t ))dt
                            α
  Отсюда следует, что все обычные свойства интегралов справедливы и для
интегралов от функций комплексного переменного.
  Пример. Вычислить интеграл ∫ (2 z + z + i )dz , где Г – дуга параболы y=x2,
                                                       Г
соединяющая точка z=0 и z=1+i.
  Решение.
   ∫ (2 z + z + i)dz = ∫ 3xdx − ( y + 1)dy +i ∫ ( y + 1)dx + 3xdy =
   Г                         Г                             Г
   1                                   1

   ∫ (3x − 2( x       + 1) x)dx + i ∫ (( x 2 + 1) + 6 x 2 )dx =
                  2

   0                                   0
       1                         1                                  1                    1
                                          x2 x4      7          10
  = ∫ ( x − 2 x )dx + i ∫ (7 x + 1)dx =( − ) + i ( x 3 + x) = i
                  3                   2

    0                   0
                                           2     2 0 3       0   3
  Интегральная теорема Коши. Если G – односвязная область конечной
                           плоскости и f(z) – однозначная аналитическая функция, то
                           для любой замкнутой спрямляемой кривой Г, лежащей в
      Г0
                           области ∫ f ( z )dz = 0 .
           G                                       Г
                      Г2
                       Теорему Коши можно распространить и на случай
    Г1               многосвязной области. Пусть f(z) аналитична в
                     многосвязной области D. Пусть G – замкнутая область,
        Рис.4        принадлежащая D, и граница G состоит из конечного
                     числа замкнутых жордановых спрямляемых кривых Г0,
Г1, …Гn, причем все кривые Г0,…Гn находятся во внутренности Г0 (рис. 4).
Обозначим через Г составной контур, состоящий из контуров Г0, Г1, …Гn,
каждый из которых положительно ориентирован относительно области G (т.е.
при обходе область G остается слева). При этих предположениях ∫ f ( z )dz = 0 .
                                                                                                       Г
  Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл от
аналитической функции не зависит от пути интегрирования, принадлежащего
односвязной области, а зависит лишь от начала и конца пути интегрирования, и
справедлива формула Ньютона-Лейбница

Страницы