Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 16 стр.

                                          16

     Таким образом, угол, на который поворачивается кривая γ в точке z при
отображении w=f(z), не зависит от вида и направления кривой γ и равен arg
f'(z0).
     Для выяснения геометрического смысла модуля производной обозначим
через ΔS длину участка γ между точками z0 и ζ и через Δσ длину
соответствующего участка кривой Г между точками w и ω=w(ζ). Как известно
из анализа, бесконечно малые дуги эквивалентны стягивающим их хордам и,
                                     Δw           Δσ
следовательно, f ' ( z 0 ) = Δlzim
                                 → 0 Δz
                                        = lim
                                          ζ → z 0 ΔS
                                                     . Последний предел называется
коэффициентом растяжения кривой при отображении w=f(z).
     Итак, коэффициент линейного растяжения в точке z0 любой кривой γ,
проходящей через точку z0, не зависит от вида и направления кривой γ и равен
  f ' ( z0 ) .
     Пример. Какая часть плоскости сжимается, а какая                                       y
растягивается при отображении w=z2+z?
     Решение.
     Найдем производную данного отображения w'=2z+1 и вычислим                                  x
                                                                              –1   –½       0
ее модуль w' = (2 x + 1) + 4 y .
                               2       2


   Так как модуль производной является коэффициентом
линейного растяжения, то область, где |w'|<1, сжимается, а область,
где |w'|>1, растягивается.                                                          Рис.3
   Следовательно, окружность (2x+1)2+4y2=1 делит плоскость z на
две части (рис.9). Внутренняя ее часть (2x+1)2+4y2<1 при отображении w
сжимается, а внешняя часть (2x+1)2+4y2>1 растягивается.
   Функция, имеющая производную в точке z0, называется дифференцируемой
в этой точке.
   Справедлива следующая теорема. Функция w=f(z) дифференцируема в точке
z0 тогда и только тогда, когда функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как
функции двух переменных в точке (x0, y0) и выполняются условия Коши-
         ∂u ∂v ∂u              ∂v
Римана:      = ,          =− .
          ∂x ∂y ∂y             ∂x
   Подчеркнем, что требование дифференцируемости функций u(x,y) и v(x,y)
является существенным для дифференцируемости функции f(z), а условия
Коши-Римана являются необходимыми, но не достаточными условиями
дифференцируемости.
   6. Интегрирование функций комплексного переменного.
   Пусть z (t ) = x (t ) + iy (t ), (α ≤ t ≤ β) , где x=x(t), y=y(t) – две непрерывные
действительные функции действительного переменного t такие, что двум
различным значениям параметра t (за исключением, быть может, t=α и t=β)
соответствуют две различные точки комплексной плоскости z. Будем говорить,
что уравнение z=z(t) определяет жорданову кривую с началом в точке z(α) и