Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

14
Определение. Комплексное число A называется пределом функции f(z) при
z→z
0
и обозначается
Azfim
zz
=
→
)(
0
l
, если для ∀V
ε
(A)∃U
δ
(z
0
):
)(V)()(U
0
Azfzz
ε
δ
•
∈⇒∈∀
(обратим внимание на то, что точка над символом
окрестности, как и в математическом анализе, указывает на проколотую
окрестность точки
z
0
, т.е. z≠z
0
.)
Определение. Функция f(z) называется непрерывной в точке z
0
, если
)()(
0
0
zfzfim
zz
=
→
l
. Заметим, что справедливы теоремы анализа о непрерывности
суммы, разности, произведения и частного
)(
)(
zg
zf
(где g(z)≠0) двух непрерывных
функций. Кроме того, введенные нами элементарные функции являются
непрерывными в областях своего определения.
5. Дифференцирование функций. Условия Коши-Римана.
Пусть функция f(z) определена в окрестности точки z
0
.
Определение. Производной функции f(z) в точке z
0
называется предел
)('
)()(
0
00
0
zf
z
zfzzf
im
z
=
Δ
−Δ+
→Δ
l
, если он существует и конечен. Так же, как и в
анализе, функция, имеющая производную в точке, является непрерывной в этой
точке. Кроме того, из определения производной и свойств пределов вытекает,
что основные правила дифференцирования и таблица производных, известные
из математического анализа, распространяются и на функции комплексного
переменного. Напомним их:
Если
С – постоянная, а функция f(z) и g(z) имеют производные, то:
).0)((
)(')()()('
)'
)(
)(
(.5
),(')()()('))'()((.4
),(')('))'()((.3
),('))'((.2
,0'.1
2
≠
−
=
+=⋅
±=±
=
=
zg
g
zgzfzgzf
zg
zf
zgzfzgzfzgzf
zgzfzgzf
zCfzCf
C
Производная сложной функции. Если функция w=f(z) имеет производную
в точке
z
0
, а функция ξ=ϕ(w), определенная на множестве значений функции
f(z), имеет производную в точке w
0
, где w
0
=f(z
0
), то сложная функция ξ=ϕ(f(z))
имеет производную в точке z
0
и справедливо равенство:
(
ϕ(f(z)))' = ϕ'(w
0
)⋅f'(z
0
).
Производная обратной функции. Если функция w=f(z) имеет производную
в точке
z
0
и f'(z
0
)≠0, а обратная к f(z) функция z=ϕ(w) существует и непрерывна,
то она имеет производную в точке
w
0
=f(z
0
) и справедливо равенство: 
                                                       14

  Определение. Комплексное число A называется пределом функции f(z) при
z→z0 и обозначается lz →im f ( z ) = A , если для ∀Vε(A)∃Uδ(z0):
                         z           0

        •
∀z ∈ U δ ( z 0 ) ⇒ f ( z ) ∈ Vε ( A) (обратим внимание на то, что точка над символом
окрестности, как и в математическом анализе, указывает на проколотую
окрестность точки z0, т.е. z≠z0.)
  Определение. Функция f(z) называется непрерывной в точке z0, если
lim f ( z ) = f ( z 0 ) . Заметим, что справедливы теоремы анализа о непрерывности
z→z0

                                                            f ( z)
суммы, разности, произведения и частного                           (где g(z)≠0) двух непрерывных
                                                            g ( z)
функций. Кроме того, введенные нами элементарные функции являются
непрерывными в областях своего определения.


   5. Дифференцирование функций. Условия Коши-Римана.
   Пусть функция f(z) определена в окрестности точки z0.
   Определение. Производной функции f(z) в точке z0 называется предел
      f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 )
lim                              = f ' ( z 0 ) , если он существует и конечен. Так же, как и в
Δz →0            Δz
анализе, функция, имеющая производную в точке, является непрерывной в этой
точке. Кроме того, из определения производной и свойств пределов вытекает,
что основные правила дифференцирования и таблица производных, известные
из математического анализа, распространяются и на функции комплексного
переменного. Напомним их:
   Если С – постоянная, а функция f(z) и g(z) имеют производные, то:
   1. C ' = 0,
   2. (Cf ( z ))' = Cf ' ( z ),
   3. ( f ( z ) ± g ( z ))' = f ' ( z ) ± g ' ( z ),
    4. ( f ( z ) ⋅ g ( z ))' = f ' ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ' ( z ),
         f ( z)         f ' ( z) g ( z) − f ( z) g ' ( z)
   5. (          )' =                                             ( g ( z ) ≠ 0).
         g ( z)                        g2
    Производная сложной функции. Если функция w=f(z) имеет производную
в точке z0, а функция ξ=ϕ(w), определенная на множестве значений функции
f(z), имеет производную в точке w0, где w0=f(z0), то сложная функция ξ=ϕ(f(z))
имеет производную в точке z0 и справедливо равенство:
                                                  (ϕ(f(z)))' = ϕ'(w0)⋅f'(z0).
    Производная обратной функции. Если функция w=f(z) имеет производную
в точке z0 и f'(z0)≠0, а обратная к f(z) функция z=ϕ(w) существует и непрерывна,
то она имеет производную в точке w0=f(z0) и справедливо равенство:

Страницы