Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 13 стр.

                                            13


  б) e ≠ 0, так как e = e > 0 ;
      z               z      x


  в) показательная функция ez является периодической с чисто мнимым
                                  z + 2 πi
периодом Т=2πi. В самом деле, e            = e z ⋅ e 2 πi = e z (cos 2π + i sin 2π) = e z ;
  г) функции sin z и cos z – периодические функции с действительным
основным периодом Т=2π.
  д) Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы
тригонометрии. Отметим, что в комплексной плоскости sin z и cos z могут
принимать любые значения, а не только ограниченные по модулю единицей.
  Логарифмическая функция w=Ln z, где z≠0, определяется как функция,
обратная к показательной ew, причем Ln z = ln z + i Arg z = ln z + i arg z + 2kπi ,
k=0, ±1, ±2, …
  Эта функция является многозначной. Ее значение при k=0 называется
главным значением, или главной ветвью логарифма и обозначается ln z, т.е.
ln z = ln z + i arg z, Ln z + 2kπi, k = 0, ± 1, ± 2,...
   Справедливы известные из анализа свойства логарифмической функции:
                                                     z
                Ln( z1 ⋅ z 2 ) = Ln z1 + Ln z 2 , Ln( 1 ) = Ln z1 − Ln z 2
                                                     z2
   Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg
z определяются как функции, обратные соответственно к функциям sin w, cos w,
tg w, ctg w. Все обратные тригонометрические функции являются
многозначными и выражаются через логарифмическую функцию:
                              arcsin z = −i Ln(iz + 1 − z 2 );
                              arccos z = −i Ln( z + z 2 − 1);
                                     i    1 + iz
                         arctg z = − Ln          ;
                                     2 1 − iz
                                       i    z+i
                         arcctg z = − Ln
                                       2    z −i
  Общая степенная функция w=za, где a=α+iβ – любое комплексное число,
определяется равенством:
                                    za=eaLnz.
  Эта функция, вообще говоря, многозначная, ее главное значение равно ealnz.
  Общая показательная функция w=az (a≠0 – любое комплексное число)
определяется равенством:
                                     az=ezLna
  Главное значение этой многозначной функции az=ezlna.

  Пусть f(z) определена в окрестности точки z0 за исключением может быть
самой точки z0.