Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 11 стр.

                                                      11

  Применим соответствующую формулу:
         C           3 n +1 (n + 1) 3            1
R = lim n = lim              n 3
                                      = lim 3(1 + ) 3 = 3 . На окружности z − i = 3 ряд
    n →∞ C      n →∞      3 n           n →∞     n
           n +1
                                        ∞
                                               ( z − i) n    ∞
                                                                 1
абсолютно сходится, так как            ∑n =1
                                                   n 3
                                                 3 n
                                                          = ∑
                                                            n =1 n
                                                                   3 . Следовательно, область


сходимости второго ряда z − i ≤ 3 , а суммарный ряд абсолютно сходится в
кольце e < z − i ≤ 3 .
                                                              ∞   ∞
                                                     n
  Пример 2. Найти область сходимости ряда ∑                    + ∑    n( z + 1 − i ) n .
                                          n =1 ( z + 1 − i )
                                                             n
                                                                 n =0

  Решение. Найдем радиусы сходимости этих рядов ρ = ln→
                                                      imn n = 1 . Напомним
                                                        ∞

                                                                       ln x         1
                                                im
вычисление этого предела по правилу Лопиталя lx →                           = lim = 0 , поэтому
                                                  ∞                     x     x → ∞ x
       1           ln n
            lim
lim n = e
       n    n →∞    n
                          = e 0 = 1 . Следовательно, первый ряд сходится при z + 1 − i > 1 .
n →∞

На окружности z + 1 − i = 1 этот ряд расходится, так как общий член ряда
                                              1       1
стремится к ∞. Для второго ряда      R =          =       1
                                                            = 1 и этот ряд
                                         lim n Cn
                                         n →∞       lim n n
                                                                         n →∞

абсолютно сходится в круге z + 1 − i < 1 . Так как сходимость этого ряда
эквивалентна одновременной сходимости первого и второго рядов, то данный
ряд всюду расходится.

  4. Функции комплексного переменного.
  Определение. Множество точек G комплексной плоскости или расширенной
комплексной плоскости называется областью, если 1) оно открыто, т.е. вместе с
каждой точкой, принадлежащей этому множеству, оно содержит и некоторую
окрестность этой точки; 2) оно связно, т.е. вместе с каждой парой точек,
принадлежащих этому множеству, оно содержит и некоторую ломаную,
соединяющую эти точки.
  Точка z0 называется граничной точкой области G, если в любой ее
окрестности содержатся точки как принадлежащие, так и не принадлежащие
области G. Множество всех граничных точек области G образуют границу
области. Область G вместе со своей границей называется замкнутой областью
и обозначается G .
  Если каждой точке z некоторой области G комплексной плоскости
поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел W, то
говорят, что на G определена функция (однозначная или многозначная)
комплексного переменного W=f(z). Функцию комплексного переменного