Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

10
При |z – z
0
|<R ряд абсолютно сходится, при |z – z
0
|≥R ряд расходится. Что
касается точек, лежащих на окружности |
z – z
0
|=R, то в одних из них ряд может
сходиться, а в других расходиться.
Замечание .
Если
∞=
∞→
n
n
n
Ciml
, то полагают R=0, и ряд сходится только в
точке
z = z
0
. Если
0=
∞→
n
n
n
Ciml
, то полагают R=∞, и ряд сходится по всей
комплексной плоскости.
Замечание .
На практике при отыскании радиуса сходимости степенного ряда
часто бывает удобно пользоваться признаком Даламбера. Тогда
1+
∞→
=
n
n
n
C
C
imR l
(если этот предел существует).
Кроме рассмотренных степенных рядов важное значение имеют ряды по
отрицательным степеням (
z – z
0
), т.е. ряды вида:
∑
∞
=
−
−
1
0
)(
n
n
n
zz
C
. Областью
сходимости такого ряда является область, удовлетворяющая неравенству |
z –
z
0
|>
ρ
, где
n
n
n
Cim
−
∞→
=ρ l
.
В общем случае рассматривается ряд, содержащий как положительные, так и
отрицательные степени (
z – z
0
), а именно:
∑
∞
−∞=
−
n
n
n
zzC )(
0
Этот ряд называется рядом Лорана, и по определению он сходится тогда и
только тогда, когда сходятся оба ряда
∑
∞
=
−
0
0
)(
n
n
n
zzC
и
∑
∞
=
−
−
−
0
0
)(
n
n
n
zzC
.
Из вышесказанного ясно, что если
ρ
>R, то ряд нигде не сходится, а если
ρ
<R,
то областью сходимости ряда Лорана является кольцо
Rzz <−<ρ
0
.
Пример 1.
Найти область сходимости ряда
∑∑
∞
=
∞
=
−
+
−
11
3
3
)(
)(
nn
n
n
n
n
n
iz
iz
e
.
Решение.
Найдем область сходимости ряда по отрицательным степеням (z –
i), вычислив для этого
eeimCim
n
n
n
n
n
n
===ρ
∞→
−
∞→
ll
, т.е. первый ряд абсолютно
сходится при |
z – i|>e. При |z – i|=e этот ряд расходится, так как не выполняется
необходимый признак сходимости
01
)(
→
/
=
−
n
n
iz
e
при n→∞. Второй ряд
∑
∞
=
−
1
3
3
)(
n
n
n
n
iz
можно исследовать так же, используя формулу Коши-Адамара,
однако, оба ряда можно исследовать и по признаку Даламбера. 
                                            10

  При |z – z0|ρ, где ρ = ln→
                 im n C − n .
                   ∞
  В общем случае рассматривается ряд, содержащий как положительные, так и
отрицательные степени (z – z0), а именно:
                                     ∞

                                   ∑C
                                   n = −∞
                                            n   ( z − z0 ) n

     Этот ряд называется рядом Лорана, и по определению он сходится тогда и
                                            ∞                          ∞

только тогда, когда сходятся оба ряда       ∑C
                                            n=0
                                                    n (z − z0 )
                                                                n
                                                                  и   ∑C
                                                                      n =0
                                                                             −n   ( z − z 0 ) −n .

  Из вышесказанного ясно, что если ρ>R, то ряд нигде не сходится, а если ρe. При |z – i|=e этот ряд расходится, так как не выполняется
                                             en
необходимый признак сходимости                      =1→
                                                      / 0 при n→∞. Второй ряд
                                         ( z − i) n
 ∞
     ( z − i) n
∑n =1 3 n
         n 3    можно исследовать так же, используя формулу Коши-Адамара,
однако, оба ряда можно исследовать и по признаку Даламбера.

Страницы