Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 8 стр.

                                                         8

          im n(n z − 1) = ln r − i(ϕ + 2πk ) .
  Итак, ln→ ∞
  Заметим, что иногда при отыскании пределов последовательностей
действительных чисел бывает полезно переходить к последовательностям
комплексных чисел.

                    im x n , если x n = 1 + r cos α + ... + r n cos nα , 0 < r < 1 .
  Пример 2. Найти ln→ ∞
  Решение.
  Положим, что
  y n = r sin α + r 2 sin 2α + ... + r n sin nα .
  z n = x n + iy n = 1 + r (cos α + i sin α ) + ... + r n (cos nα + i sin nα ).
  Тогда, если удастся найти ln →      im z n = A( A ≠ ∞ ), то lim x n = Re A. Для
                                       ∞                         n→∞

нахождения предела zn положим t = r (cos α + i sin α ) , где |t| = r<1. Имеем
                               1 − t n +1
z n = 1 + t + t + ... + t =
              2              n
                                          (сумма членов геометрической прогрессии).
                                 1− t
Далее, так как |tn| = |t|n, то tn→0 при n→0, если |t|<1. Поэтому
                 1 − t n +1    1
lim z n = lim               =      . Отсюда
n →∞        n →∞ 1 − t        1− t
                             1                     1 − r cos α + i sin α     1 − r cos α
lim x n = Re                               = Re                            =                .
n →∞            1 − r (cos α + i sin α )        (1 − r cos α ) + r sin α 1 − 2r cos α + r 2
                                                              2    2     2

                                                   ∞

  Определение 3. Бесконечный ряд                  ∑C
                                                  n =1
                                                             n   называется сходящимся, если
                                                                                        n

существует конечный предел его частичных сумм {S n }, S n = ∑ C k . S = ln→
                                                                          im S n .
                                                                            ∞
                                                                                       k =1
Этот предел называется суммой ряда.
  Так же, как и в теории действительных рядов, отсюда следует необходимый
                                                                    ∞

признак сходимости ряда, а именно: если ряд                        ∑C
                                                                   n =1
                                                                          n                  im C n = 0 .
                                                                              сходится, то ln→ ∞

  Из теории пределов последовательностей следует, что ряд сходится тогда и
только тогда, когда одновременно сходятся ряды, составленные отдельно из
действительных и мнимых частей этого ряда.
                                 ∞

  Определение 4. Ряд             ∑C
                                 n =1
                                        n   называется абсолютно сходящимся, если
                  ∞

сходится ряд      ∑C
                  n =1
                         n   .
  Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
    При исследовании рядов на абсолютную сходимость мы будем
пользоваться известными из курса математического анализа признаками