Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
оказаться, что
π
−
=
∞→
n
n
zim argl
, что не может служить главным значением
аргумента).
Исходя непосредственно из определения предела или учитывая, что
сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости
двух действительных последовательностей, можно доказать, что известные из
анализа теоремы о пределах последовательностей справедливы и для
последовательностей комплексных чисел (единственность предела, теорема о
пределе суммы, произведения, частного).
Определение 2. Последовательность {z
n
} называется сходящейся к ∞, пишут
∞=
∞→
n
n
ziml
, если для ∀M>0∃N(M)>0 такое, что для ∀n>N(M) выполняется
неравенство |
z
n
|>M.
Пример 1.
Найти
nzim
n
n
)1( −
∞→
l
, если
)
2
sin
2
(cos
n
k
i
n
k
rz
nn
π+ϕ
+
π
+
ϕ
=
,
где k – целое, фиксированное число.
Решение.
Вычислим пределы действительной и мнимой частей числа
)1( −
n
zn
:
()
r
n
e
im
n
n
k
im
n
k
im
n
r
im
n
n
k
n
k
n
r
im
n
k
n
k
n
k
rnim
n
k
rnimznim
r
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ln
1
1
1
2
cos1
2
cos
1
1
)
1
2
cos1
2
cos
1
1
(
)1
2
cos
2
cos
2
cos(
)1
2
cos(1Re
ln
1
1
=
−
=
+
−
−
+−
=
=
+
−
−
+−
=
=−
+
+
+
−
+
=
=−
+
=−
∞→
∞→∞→∞→
∞→
+
∞→
∞→∞→
l
lll
l
l
ll
πϕ
πϕ
πϕ
πϕ
πϕπϕπϕ
π
ϕ
Здесь использованы следующие соотношения эквивалентности (при
α→0) из
математического анализа:
α=−
α
α−αα
α
1,
2
~cos1,~sin
2
e
.
.2
1
2
sin
2
sin)1Im( k
n
n
k
im
n
k
znimznim
n
n
n
n
n
πϕ
π
ϕ
πϕ
+=
+
=
+
=−
∞→
+
∞→∞→
lll
. 
                                                7

                  im arg z n = − π , что не может служить главным значением
оказаться, что ln → ∞
аргумента).
   Исходя непосредственно из определения предела или учитывая, что
сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости
двух действительных последовательностей, можно доказать, что известные из
анализа теоремы о пределах последовательностей справедливы и для
последовательностей комплексных чисел (единственность предела, теорема о
пределе суммы, произведения, частного).
   Определение 2. Последовательность {zn} называется сходящейся к ∞, пишут
lim z n = ∞ , если для ∀M>0∃N(M)>0 такое, что для ∀n>N(M) выполняется
n →∞
неравенство |zn|>M.
                                                                    ϕ + 2πk         ϕ + 2πk
                    im( n z − 1)n , если
  Пример 1. Найти ln→
                                                 n
                                                     z = n r (cos           + i sin         ),
                      ∞                                                n               n
где k – целое, фиксированное число.
  Решение.
  Вычислим пределы действительной и мнимой частей числа n( n z − 1) :

   n →∞
                      (       )
  lim Re n n z − 1 = lim n( n r cos
                                    n →∞
                                           ϕ + 2πk
                                           n
                                                 − 1) =

                     ϕ + 2πk         ϕ + 2πk          ϕ + 2πk
  = lim n( n r cos             − cos            + cos         − 1) =
    n →∞       +         n               n                n
                                           ϕ + 2πk
                                  1 − cos
          n
              r −1     ϕ + 2πk                 n )=
  = lim(           cos          −
    n →∞       1          n                1
               n                           n
                                                   ϕ + 2π k
                                           1 − cos
            1

         r −1
            n
                         ϕ + 2π k                       n
  = lim          lim cos            − lim                   =
    n →∞      1 n →∞         n        n →∞          1
              n                                     n
           1
               ln r
          en          −1
  lim                      = ln r
   n →∞          1
                 n
  Здесь использованы следующие соотношения эквивалентности (при α→0) из
                                                     α2 α
математического анализа: sin α ~ α, 1 − cos α ~          , e −1 = α .
                                                      2
                                                        ϕ + 2πk
                                                    sin
                                    ϕ + 2πk                 n
  lim Im(n n z − 1) = lim n n z sin         = lim               = ϕ + 2πk . .
  n →∞                n →∞  +          n      n → ∞       1
                                                          n

Страницы