Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 5 стр.

                                          5

   Длина вектора z называется модулем комплексного числа z и обозначается
| z|: z = x 2 + y 2 = z ⋅ z .
     Угол ϕ между положительным направлением оси ОХ и вектором z
называется аргументом комплексного числа z и обозначается ϕ = Arg z. Он
определен не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного 2π. Для z = 0
понятие аргумента не определено. Единственное значение аргумента,
удовлетворяющее условию −π<ϕ≤π, называется главным значением или
главной ветвью аргумента и обозначается arg z: Arg z = arg z + 2πk
(k=0, ± 1, ± 2 ,...). Главное значение аргумента определяется формулой:

                                ⎧       x
                                ⎪arctg y , если x > 0;
                                ⎪
                                ⎪       x
                                ⎪arctg y + π, если x < 0, y ≥ 0;
                                ⎪
                                ⎪       x
                        arg z = ⎨arctg − π, если x > 0, y < 0;
                                ⎪       y
                                ⎪ π
                                ⎪ , если x = 0; y > 0;
                                ⎪ 2
                                ⎪ π
                                ⎪− 2 , если x = 0, y < 0.
                                ⎩
                                     Пользуясь этими понятиями, комплексное число
  y
                                   можно записать в тригонометрической форме:
                                                 z = |z|(cos(Arg z)+(sin(Arg z))
                                     Операции сложения и вычитания комплексных
                          z1+z2
        z1–z2                      чисел удобнее производить в алгебраической форме.
                                   Геометрически сложение и вычитание чисел z1 и z2
     z1                            производится по правилу сложения и вычитания
                 z2                векторов (рис.1).
   0                         x       Отсюда следует, что |z1–z2| равен расстоянию
              Рис.1
                                   между точками z1 и z2, а уравнение |z–z0|=R задает
окружность радиуса R с центром в точке z0. Внутренность круга радиуса δ с
центром в точке z0 (|z–z0|<δ) называется δ-окрестностью точки z0 и
обозначается Uδ(z0).
  Операции умножения и деления приобретают наглядный геометрический
смысл в тригонометрической форме, а именно:
               z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 (cos(Arg z1 + Arg z 2 ) + i sin(Arg z1 + Arg z 2 ))
              z1   z1
                 =    (cos(Arg z1 − Arg z 2 ) + i sin(Arg z1 − Arg z 2 ))
              z2   z2
  Из правила умножения следует также, что