Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 4 стр.

                                         4

   1. Действия над комплексными числами.
   Определение 1. Комплексными числами (в алгебраической форме)
называются выражения вида z = x + i y, где i - символ, называемый мнимой
единицей, а х и у – действительные числа, называемые соответственно
действительной и мнимой частями числа z и обозначаемые x = Re z, y =Im z,
если для этих выражений определены следующим образом понятия равенства и
операции сложения и умножения: пусть z = a + bi, w = u + vi, тогда
1. z = w тогда и только тогда, когда а = u и b = v.
2. z + w = (a + u) + i(b + v).
3. z ⋅ w = (au − bv) + i (av + bu ).
   Замечание 1. Множество комплексных чисел является расширением
множества действительных чисел. Если Im z = 0, то число х + i 0 является
действительным и обозначается просто х; если Re z = 0, a Im z отлична от 0, то
число z является чисто мнимым и записывается как i y.
   Замечание 2. Из определения произведения комплексных чисел следует, что
квадрат мнимой единицы равен –1.
   Замечание 3. Пункт 3 определения 1 дан так, чтобы умножение комплексных
чисел производить по правилу умножения двучленов.
   Комплексное число z =x − iy называется сопряженным комплексному числу
z=x+iy.
   Операция деления комплексного числа на комплексное число, если делитель
                                                                        z
отличен от нуля, определяется как операция обратная умножению, т.е. z = 1 ,
                                                                        z2
если z ⋅ z 2 = z1. . Из последнего равенства следует, что
                       z1      x x + y1 y 2    y x − x1 y 2
                          = z = 1 22        + i 1 22        .
                       z2        x2 + y 2
                                        2
                                                 x2 + y 22
                                                          z1 z1 ⋅ z 2
  Заметим, что эту формулу удобнее записать в виде           =        .
                                                          z2   z2 z 2

  Пример 1. Пусть z = -5+10i, w=3+4i. Вычислить сумму, разность,
произведение и частное этих чисел.
Решение. z+w = (-5+3)+i(10+4)=-2+14i; z-w=(-5-3)+i(10-4)=-8+6i;
zw=(-5+10i)(3+4i)=-15+30i-20i-40=-15+10i-40=-55+10i;
 z − 5 + 10i (− 5 + 10i )(3 − 4i ) 25 + 50i
   =         =                     =        = 1 + 2i.
w    3 + 4i     (3 + 4i )(3 − 4i )   9 + 16
   Комплексное число z=x+ i y изображается на плоскости ХОУ точкой М с
координатами (х ,у) либо вектором, начало которого находится в точке О(0,0), а
конец в точке М(х, у). Таким образом, между точками плоскости ХОУ и
комплексными числами z=x+i y можно установить взаимно-однозначное
соответствие. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, будем
называть комплексной плоскостью. В дальнейшем точка М(х, у) и комплексное
число z будут употребляться как синонимы.