Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
))Argsin()Arg(cos( zniznzz
nn
+=
где
n – натуральное число.
Операция
извлечения корня степени n из комплексного числа определяется
как обратная к операции возведения в степень, а именно, комплексное число
z
называется корнем степени
n из числа w и обозначается
n
wz =
, если z
n
= w.
Корень
n-ой степени числа w (w≠0) имеет n различных значений, которые
находятся по формуле
,1,...,1,0),
2arg
sin
2arg
(cos −=
π
+
+
π+
==
+
nk
n
kw
i
n
kw
wwz
nn
где через
+
n
w
обозначено арифметическое значение корня из положительного
числа.
Пример 2.
Записать число
388 iz −−=
в тригонометрической форме.
Решение.
16)38()8(
2222
=−+−=+= yxz
.
Так как
x = –8<0, y =
38−
<0, то
π−=π−=π−=
3
2
3arctgarctgarg
x
y
z
.
Поэтому
,...2,1,0где
)),2
3
2
sin()2
3
2
(cos(16))sin(Arg)(cos(Arg
±±=
+−++−=+=
k
kikzizzz
π
π
π
π
2. Предел последовательности. Числовые ряды.
Пусть {
z
n
}–последовательность комплексных чисел, n=1,2,…
Определение 1. Число A=a+ib называется пределом последовательности {z
n
}
и обозначается
n
n
zA
∞→
=
lim
, если для ∀
ε
>0∃N(
ε
)>0 такое, что для ∀n>N
выполняется неравенство |
z
n
–A|<
ε
.
Пусть
z
n
=x
n
+iy
n
, A=a+ib. Справедливы утверждения:
1.
byimaximAzim
n
n
n
n
n
n
=
=
⇔=
∞→∞→∞→
lll ,
.
2. Пусть
Azimz
n
n
n
=≠
∞→
lи0
, тогда
а)
Azim
n
n
=
∞→
l
;
б) если
A≠0, то при n→∞ существует предел Arg z
n
, равный Arg A, что
следует понимать так: можно выбрать значения Arg
z
n
, которые будут иметь
предел, равный одному из значений Arg
A. Если А не является отрицательным
числом, то
Az
n
n
argargim
=
∞→
l
(Если А – отрицательное число, то может 
                                              6

                          z n = z n (cos( n Arg z ) + i sin( n Arg z ))
где n – натуральное число.
  Операция извлечения корня степени n из комплексного числа определяется
как обратная к операции возведения в степень, а именно, комплексное число z
называется корнем степени n из числа w и обозначается z = n w , если zn = w.
Корень n-ой степени числа w (w≠0) имеет n различных значений, которые
находятся по формуле
                            arg w + 2πk         arg w + 2πk
         z = n w = n w (cos             + i sin             ), k = 0,1,..., n − 1,
                   +             n                   n
где через   n   w обозначено арифметическое значение корня из положительного
            +

числа.
  Пример 2. Записать число z = −8 − i8 3 в тригонометрической форме.
  Решение.
   z = x 2 + y 2 = (−8) 2 + (−8 3 ) 2 = 16 .
                                                        y                      2
  Так как x = –8<0, y = −8 3 <0, то arg z = arctg         − π = arctg 3 − π = − π .
                                                        x                      3
Поэтому
                                                  2π                    2π
z = z (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )) = 16(cos( −      + 2πk ) + i sin( −    + 2πk )),
                                                   3                     3
где k = 0,±1,±2,...

  2. Предел последовательности. Числовые ряды.

  Пусть {zn}–последовательность комплексных чисел, n=1,2,…
  Определение 1. Число A=a+ib называется пределом последовательности {zn}
и обозначается A = lim
                   n→∞
                       z n , если для ∀ε>0∃N(ε)>0 такое, что для ∀n>N
выполняется неравенство |zn–A|<ε.
  Пусть zn=xn+iyn, A=a+ib. Справедливы утверждения:
        im z n = A ⇔ lim x n = a, lim y n = b .
  1. ln → ∞          n→∞          n→∞

  2. Пусть z n ≠ 0 и ln →
                        im z n = A , тогда
                          ∞

       im z n = A ;
  а) ln→∞

  б) если A≠0, то при n→∞ существует предел Arg zn, равный Arg A, что
следует понимать так: можно выбрать значения Arg zn, которые будут иметь
предел, равный одному из значений Arg A. Если А не является отрицательным
числом, то lim arg z n = arg A (Если А – отрицательное число, то может
                 n →∞

Страницы