Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 9 стр.

                                                         9

сходимости знакопостоянных рядов, в частности, признаком Даламбера и
признаком Коши. Напомним эти признаки.
                                                                                    a n +1
       Признак Даламбера. Пусть a n > 0 (n = 1,2,...) и ∃ lim                              = q , тогда: а) если q<1,
                                                                             n →∞    an
        ∞
то     ∑a
        n =1
               n       сходится; б) если q>1, то ряд расходится.
       Признак Коши. Пусть a n > 0 (n = 1,2,...) и ∃ lim n a n = q , тогда: а) если q<1, то
                                                                    n→∞
∞

∑a
n =1
         n     сходится; б) если q>1, то ряд расходится.
  Так как предел последовательности существует не всегда, сформулируем
признак Коши в его наиболее общем виде. Для этого введем понятие верхнего
предела последовательности.
  Число Λ называется верхним пределом последовательности {u n } (пишется

lim{u } = Λ , если:
 n→∞
                   n

       а) существует подпоследовательность {u nk } такая, что lim u nk = Λ и
                                                                                        nk →∞

       б) для ∀ε>0∃n0(ε), такое, что для ∀n>n0(ε) выполняется неравенство un<Λ+ε.
       Из определения верхнего предела следует, что если последовательность {u n }
                   im u n = lim u n . Если последовательность не ограничена
имеет предел, то ln→ ∞      n →∞

сверху, то принято говорить, что lim u n = +∞ .
                                                   n→∞

  Заметим, что верхний предел последовательности (конечный или
бесконечный) существует всегда.
  Радикальный признак Коши. Пусть an>0 и lim n a n = q , тогда: а) если q<1,
                                                                            n →∞
                   ∞
то ряд          ∑a n =1
                          n   сходится; б) если q>1, то a n →
                                                            / 0 и ряд расходится.

  Замечание . Этот признак не отвечает на вопрос о сходимости ряда при q=1, в
этом случае нужны более тонкие признаки.
  Для удобства пользования напомним следующую вспомогательную теорему:
если один из множителей имеет предел, то верхний предел произведения равен
произведению этого предела на верхний предел второго множителя.

       3. Степенные ряды. Ряды Лорана.
                                                                ∞
       Степенным рядом называется ряд вида                   ∑C
                                                             n =0
                                                                      n   ( z − z 0 ) n , где Cn и z0 –

комплексные числа, а z – комплексное переменное.
  Область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке z0. Радиус
этого круга называется радиусом сходимости и определяется по формуле
Коши-Адамара:
                                         1
                                 R=
                                     lim n C n
                                                         n →∞