Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
W=f(x+iy) можно рассматривать как пару действительных функций u(x,y), v(x,y)
двух действительных переменных
x и y. W=u(x,y) + iv(x,y); u(x,y)=Re f(x+iy);
v(x,y)=Im f(x+iy).
Функцию комплексного переменного
W=f(z) удобно рассматривать как
отображение области
G комплексной плоскости z = x+iy на некоторое
множество в комплексной плоскости
W=u+iv. Множество D значений,
принимаемых функцией
f(z) называется образом множества G и обозначается
D=f(G). Множество G называется прообразом множества D при отображении
W=f(z). Введем некоторые элементарные функции комплексного переменного,
определив их как суммы соответствующих степенных рядов:
∑
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
∞
=
=
+
=
−=
+
−=
=
0
2
0
12
0
2
0
12
0
)!2(
ch.5
)!12(
sh.4
)!2(
)1(cos.3
)!12(
)1(sin.2
!
.1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
z
n
z
z
n
z
z
n
z
z
n
z
z
n
z
e
Введенные функции на действительной оси совпадают с соответствующими
функциями, известными из математического анализа, и определены на всей
комплексной плоскости, так как данные ряды имеют бесконечный радиус
сходимости.
Справедлива следующая формула Эйлера:
zize
iz
sincos +=
позволяющая представить комплексное число в показательной форме:
ϕ
⋅=ϕ+ϕ=
i
erirz )sin(cos
где
zzr Arg, =ϕ=
.
Из формулы Эйлера следуют равенства:
i
ee
z
ee
z
iziziziz
2
sin;
2
cos
−−
−
=
+
=
а также связь тригонометрических и гиперболических функций:
ziizziz shsin;chcos
=
=
Функции tg
z и ctg z определяются равенствами:
z
z
z
z
z
z
sin
cos
ctg;
cos
sin
tg ==
Укажем некоторые свойства этих функций:
а)
)sin(cos,частностив,
2121
yiyeeeeeeee
xiyxiyxz
zzzz
+=⋅===⋅
+
+
; 
                                                      12

W=f(x+iy) можно рассматривать как пару действительных функций u(x,y), v(x,y)
двух действительных переменных x и y. W=u(x,y) + iv(x,y); u(x,y)=Re f(x+iy);
v(x,y)=Im f(x+iy).
   Функцию комплексного переменного W=f(z) удобно рассматривать как
отображение области G комплексной плоскости z = x+iy на некоторое
множество в комплексной плоскости W=u+iv. Множество D значений,
принимаемых функцией f(z) называется образом множества G и обозначается
D=f(G). Множество G называется прообразом множества D при отображении
W=f(z). Введем некоторые элементарные функции комплексного переменного,
определив их как суммы соответствующих степенных рядов:
                                    ∞
                                         zn
                          1. e z = ∑
                                   n = 0 n!
                                                   ∞
                                                                   z 2 n +1
                                      2. sin z = ∑ (−1) n
                                                  n =0           (2n + 1)!
                                                   ∞
                                                         z 2n
                                      3. cos z = ∑ (−1)      n

                                                 n =0   (2n)!
                                                  ∞
                                                          z 2 n +1
                                      4. sh z = ∑
                                                 n = 0 ( 2 n + 1)!
                                                  ∞
                                            z 2n
                                      5. ch z = ∑
                                    n = 0 ( 2n )!
  Введенные функции на действительной оси совпадают с соответствующими
функциями, известными из математического анализа, и определены на всей
комплексной плоскости, так как данные ряды имеют бесконечный радиус
сходимости.
  Справедлива следующая формула Эйлера:
                              e iz = cos z + i sin z
позволяющая представить комплексное число в показательной форме:
                         z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r ⋅ e iϕ
где r = z , ϕ = Arg z .
   Из формулы Эйлера следуют равенства:
                                      e iz + e − iz              e iz − e −iz
                              cos z =                ; sin z =
                                             2                        2i
а также связь тригонометрических и гиперболических функций:
                                  cos iz = ch z; sin iz = i sh z
   Функции tg z и ctg z определяются равенствами:
                                           sin z                 cos z
                                  tg z =            ; ctg z =
                                           cos z                 sin z
   Укажем некоторые свойства этих функций:
                   z +z                           x + iy
   а) e 1 ⋅ e 2 = e 1 2 , в частности, e = e             = e x ⋅ e iy = e x (cos y + i sin y ) ;
       z     z                             z

Страницы