Элементы комплексного анализа. Филиппенко В.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

15
)('
1
)('
0
0
zf
w =ϕ
Таблица производных
.
sh
1
)'(cth.15,
ch
1
)'(th.14
,sh)'(ch.13,ch)'(sh.12
,
1
1
)'cctg(Ar.11,
1
1
)'(Arctg.10
,
1
1
)'(Arccos.9,
1
1
)'(Arcsin.8
,
sin
1
)'(ctg.7,
cos
1
)'(tg.6
,sin)'(cos.5,cos)'(sin.4
,
1
)'(Ln.3,)'(.2
)(,)'(.1
22
22
22
22
1
z
z
z
z
zzzz
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zzzz
z
zee
числопостоянноеnnzz
zz
nn
−==
==
+
−=
+
=
−
−=
−
=
−==
−==
==
−=
−
Заметим, что при дифференцировании рассматриваются только однозначные
функции.
Кроме того, производные функций
e
z
, sin z, cos z, sh z, ch z, определенных
ранее как суммы соответствующих степенных рядов (см с. 12), могут быть
получены почленным дифференцированием этих рядов, так как степенные
ряды можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Пусть функция
w=f(z) имеет производную в точке z
0
и f'(z
0
)≠0. Пусть точка z
движется вдоль некоторой кривой
γ, проходящей через точку z
0
, тогда образ
этой точки
w=f(z) будет двигаться вдоль некоторой кривой Г, проходящей через
точку
w
0
=f(z
0
) в плоскости W.
Если кривая
γ имеет касательную в точке z
0
, угол наклона которой с осью Ох
равен
ϑ, то кривая Г также будет иметь касательную в точке w
0
с углом наклона
к оси
Oy равным θ (рис. 2), причем будет справедливо равенство:
)('arg
0
zf+ϑ=θ .
0
z
0
ζ
γ
x
y
0
w
0
Г
ω
u
v
θ
Рис.2
ϑ
                                                 15

                                                       1
                                     ϕ' ( w0 ) =
                                                   f ' (z0 )
                                      Таблица производных
                                n −1
               1. ( z )' = nz ,
                     n
                                                 (n − постоянное число)
                                                                1
               2. (e z )' = e z ,                3. (Ln z )' = ,
                                                                z
               4. (sin z )' = cos z ,            5. (cos z )' = − sin z,
                                   1                                  1
               6. (tg z )' =         2
                                        ,        7. (ctg z )' = − 2 ,
                              cos z                               sin z
                                          1                               1
               8. (Arcsin z )' =               , 9. (Arccos z )' = −             ,
                                        1− z2                            1− z2
                                         1                                 1
               10. (Arctg z )' =             ,   11 . (Ar  cctg z )' = −       ,
                                       1+ z2                             1+ z2
               12. (sh z )' = ch z ,             13. (ch z )' = sh z ,
                                   1                                   1
               14. (th z )' = 2 ,                15. (cth z )' = − 2 .
                                ch z                                 sh z
  Заметим, что при дифференцировании рассматриваются только однозначные
функции.
  Кроме того, производные функций ez, sin z, cos z, sh z, ch z, определенных
ранее как суммы соответствующих степенных рядов (см с. 12), могут быть
получены почленным дифференцированием этих рядов, так как степенные
ряды можно почленно дифференцировать внутри круга сходимости.

            Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
                           y                                      v

                                         γ                                 Г
                                                                               ω
                                     ζ
                                             x                                     u
                       0         ϑ                            0            θ
                               z0                                     w0


                                                      Рис.2
  Пусть функция w=f(z) имеет производную в точке z0 и f'(z0)≠0. Пусть точка z
движется вдоль некоторой кривой γ, проходящей через точку z0, тогда образ
этой точки w=f(z) будет двигаться вдоль некоторой кривой Г, проходящей через
точку w0=f(z0) в плоскости W.
   Если кривая γ имеет касательную в точке z0, угол наклона которой с осью Ох
равен ϑ, то кривая Г также будет иметь касательную в точке w0 с углом наклона
к оси Oy равным θ (рис. 2), причем будет справедливо равенство:
θ = ϑ + arg f ' ( z 0 ) .

Страницы