Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 4 стр.

                                               4


                                          ВВЕДЕНИЕ

  Физика в своем историческом развитии постепенно превратилась из науки описательной в нау-
ку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и тех-
нике, физики все шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответ-
ствующий математический аппарат. Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого
физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры
каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во
сколько раз мера данного свойства рассматриваемого тела больше некоторого единичного мас-
штаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время,
температура, электрический заряд, энергия и т.п.
  Со временем выяснилось, что для количественного описания скорости движения, изменения
этой скорости, взаимодействия тел и т.п. скалярные величины не подходят. В этих случаях ока-
зались пригодными более сложные математические величины — направленные отрезки, или век-
торы. Развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в раз-
ных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для их мате-
матического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во
всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о ма-
тематическом поле – области пространства, каждой точке которого соответствует определенное
значение некоторой физической величины.
  Поля бывают скалярные и векторные. Каждое из них в свою очередь может быть стационар-
ным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестацио-
нарным. Введение понятия поля в физике сыграло такую же прогрессивную роль, как в свое вре-
мя появление в математике переменной величины.

                             1. Скалярные и векторные поля

  Множество Е точек рассматриваемого пространства, совместно с приписанными этим точкам
числами, называется скалярным полем. Скалярным полем часто называют и саму функцию F(M),
породившую это поле на точечном множестве Е. Если Е – множество точек на плоскости, то ска-
лярное поле называется плоским; если же Е – множество точек в трехмерном пространстве, то
поле называется пространственным.
  Примеры скалярных полей различной природы доставляет нам физика. Так, можно говорить о
скалярном поле температур в пространстве, занятом нагретым телом (в каждой точке этого про-
странства температура имеет определенное значение); можно говорить о скалярном поле элек-
трического потенциала в пространстве вокруг электрического заряда и т.п. Известные из физики
изотермы (линии равной температуры), изобары (линии равного давления), эквипотенциальные
линии (линии равного потенциала) являются примером линий уровня в различных плоских фи-
зических скалярных полях.
  Для пространственного скалярного поля F(M) = F(x,y,z) уравнение F(x,y,z) = С с переменным
параметром С определяет семейство поверхностей уровня, т.е. семейство поверхностей во всех
точках каждой из которых скалярное поле F(М) имеет одно и тоже значение. Поверхности уров-
ня могут вырождаться в линии и точки. Для сферически симметричного поля, т.е. такого, что
значение F(М) зависит только от расстояния точки М до некоторой фиксированной точки N,
любая сфера с центром в точке N является поверхностью уровня. Если F(М) = const во всей об-
ласти Е, то множество точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = С, либо пусто, либо совпа-
дает со всей областью Е.
Градиент скалярного поля u(M) = u(x,y,z) определяется равенством

                                        ∂u → ∂u → ∂u →
                             grad u =      i+    j+    k.                                (1)
                                        ∂x    ∂y    ∂z
                                                                                         →
В математической теории поля широко используют символическое выражение, обозначаемое ∇