Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 6 стр.

                                                      6




                                                                            x2 + y2
Решение. Поверхности уровня определяются уравнением arctg                           = C . Отсюда находим
                                                                              z
 x2 + y2                        π     π
      2
         = a 2 , где а = tg С, − < C < . Мы видим, что поверхностями уровня являются круговые
    z                           2     2
конусы x2+y2-a2z2 = 0, ось симметрии которых совпадает с осью Оz.

3. Найти поверхности уровня скалярного поля:
                                                         1
                                            u=
                                                 2x + 3 y − 4z + 1 .

Решение. Скалярное поле определено для всех точек пространства, кроме точек, расположенных
на плоскости:
                                    2x + 3y – 4z + 1 = 0

Поверхности уровня определяются уравнением

                                           2x + 3y – 4z + 1 = С,

описывающим семейство параллельных плоскостей:

                                    2x + 3y – 4z + С1 = 0 (С1 = 1 – С).

2. Найти поверхности уровня сферически симметричного поля:

                                       u = cos r , (r = x 2 + y 2 + z 2 )

Решение. Очевидно, что все сферы с центром в начале координат являются поверхностями уров-
ня (при r=const и u=const). Для нахождения не просто поверхностей, на которых u=const, а всего
множества точек с заданным значением поля, нужно решить уравнение cos r = C ( –1 ≤ C ≤1 ).
Имеем: r = ± arccosC+2πn (n=0, ±1, ±2,…). Отбрасывая отрицательные значения r, найдем, что
множество точек, для которых значение поля равно С, состоит из совокупности сфер радиусов
arccos c, arccos c + 2πn, -arccos c + 2πn, где n – целое число. Центры всех этих сфер совпадают с
началом координат.
3. Найти градиент скалярных полей:

а) u(P)=x; б) u(P)=y; в) u(P)=z;

Решение. Применим формулу (1):
   →     →     ∂u → →                      →    →        →     →
а) ∇ u = ∇ x =    i = i . Аналогично : б ) ∇ y = j ; в ) ∇ y = k .
               ∂x
6. Найти градиент скалярного поля u ( x, y ) = 4 + x 2 + y 2 в точке М(2; 1).

                                       ∂u → ∂u →                                  ∂u ∂u
Решение. По формуле (1): grad u =         i+     j . Вычислим частные производные   и   в ука-
                                       ∂x    ∂y                                   ∂x ∂y
                ∂u           x        2 ∂u           y       1                2→ 1→
занной точке:      =                 = ;    =              = ; тогда: grad u = i + j .
                ∂x      4 + x 2 + y 2 3 ∂y      4 + x2 + y2 3                 3   3