Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

8
A
E
ℓ
ΔS
k
M
k
B
)(
0
k
Mτ
→
)(
k
Ma
→
в)
x
y
arctgu = .
16. Найти векторные линии сферически симметричного поля.
17. Найти векторные линии поля
→→→
+= j
y
i
x
Ma
11
)(
.
18. Найти векторные линии поля
→→→→
+−= k
z
1
j
y
1
i
x
1
Ma
222
)( .
19. Найти уравнения семейства векторных линий поля:
.22)()(
222
→→→→
++−−= kxzjxyizyxMa
20. Найти векторные линии поля
.],,[
векторпостоянныйcгдеrca −=
→→→→
(
],[
→→
rc
– векторное
произведение ).
21. Найти силовые линии:
а) магнитного поля прямолинейного тока;
б) гравитационного поля точечного источника.
22. Поток несжимаемой жидкости имеет потенциал
22
yx
x
(x,y)
+
=
ϕ
. Найти траектории движения частиц жидкости.
23. В точке (0;0) найти направление, в котором функция
z=xsiny + ycosx изменяется быстрее все-
го
.
24.1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=ln(x
2
+4y
2
) в точке (6; 4; ln100).
2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=x
y
в точке (2; 2; 4).
25. Каково направление наибольшего изменения функции
ϕ(x,y,z)=xsinz – ycosz в начале координат?
Рис. 1.
26.1)
yx
x
z
+
=
arcsin
. Найти угол между градиентами этой функции в точках (1; 1) и (3; 4).
2) Даны функции
xy3y3xzиyxz
22
+−=+= . Найти угол
между градиентами этих функций в точке (3; 4).
2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой
Пусть векторное поле )(Ma
→
определено в пространственной области Е. Выберем в этой облас-
ти какую-нибудь кривую
ℓ. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление,
для чего установим на
ℓ начальную точку А и конечную – В (рис. 1). Пусть
→
°τ
– орт касательной
в точке М к кривой
ℓ, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ℓ
любым образом на
n "элементарных дуг" длиной ΔS
k
(k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в 
                                                          8


            y
в) u = arctg  .
            x
16. Найти векторные линии сферически симметричного поля.

                                        →         1→ 1→
17. Найти векторные линии поля a ( M ) =            i+ j.
                                                  x   y

                                             18. Найти векторные линии поля
               →                             →        1 → 1 → 1 →
               a( M k )                      a (M ) = 2 i − 2 j + 2 k .
                                                     x      y     z
                          B
                                             19. Найти уравнения семейства векторных линий поля:
               Mk                             →                           →        →        →
                                  →         a ( M ) = ( x 2 − y 2 − z 2 ) i + 2 xy j + 2 xz k .
               ΔSk                 0
                                  τ ( M k ) 20. Найти векторные линии поля
           ℓ                                  →     → →         →                                   → →
                                             a = [ c , r ], где c − постоянный вектор. ( [ c , r ] – векторное
                                             произведение ).
       A              E
                                             21. Найти силовые линии:
                                             а) магнитного поля прямолинейного тока;
                                             б) гравитационного поля точечного источника.
                                             22. Поток несжимаемой жидкости имеет потенциал
            x
ϕ(x,y) =         . Найти траектории движения частиц жидкости.
         x2 + y2
23. В точке (0;0) найти направление, в котором функция z=xsiny + ycosx изменяется быстрее все-
го.

24.1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=ln(x2+4y2) в точке (6; 4; ln100).

2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=xy в точке (2; 2; 4).

25. Каково направление наибольшего изменения функции
ϕ(x,y,z)=xsinz – ycosz в начале координат?
                 Рис. 1.
                   x
26.1) z = arcsin      . Найти угол между градиентами этой функции в точках (1; 1) и (3; 4).
                 x+ y

2) Даны функции z = x 2 + y 2 и z = x − 3 y + 3 xy . Найти угол

между градиентами этих функций в точке (3; 4).


                              2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой
                              →
  Пусть векторное поле a ( M ) определено в пространственной области Е. Выберем в этой облас-
ти какую-нибудь кривую ℓ. Ориентируем эту кривую, указав на ней положительное направление,
                                                                                                →
для чего установим на ℓ начальную точку А и конечную – В (рис. 1). Пусть τ ° – орт касательной
в точке М к кривой ℓ, совпадающей по направлению с направлением кривой. Разобьем кривую ℓ
любым образом на n "элементарных дуг" длиной ΔSk (k=1,2, …,n) в направлении от А к В и в

Страницы