Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 9 стр.

                                                                   9


произвольном месте каждой элементарной дуги возьмем по точке Mk .Для k-й элементарной дуги
составим произведение
                                                     →                 →
                                                    ( a (M k ), τ °(M k ))ΔS k                     (1)

а затем просуммируем все подобные произведения по всем k:
                                                n     →                →
                                            ∑ ( a (M k ), τ ° (M k ))ΔS k                          (2)
                                            k =1


Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ℓ. Если функции P, Q, R непрерывны
в области Е, а maxΔSk – наибольшая из длин ΔSk , то при условии maxΔSk → 0 сумма (2) стремит-
ся к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции
 →      →
( a (M), τ ° (M)) по кривой ℓ:
                                                           → →
                                                    ∫l   ( a , τ ° )ds .                           (3)
                                                           →       →
Вводя в рассмотрение векторный элемент d s = τ °ds линии ℓ с координатами dx, dy, dz, можем
представить интеграл (3) в координатной форме:

                        → →               → →                      →       →
                    ∫ l ( a , τ ° )ds = ∫ ( a , τ °ds) = ∫ ( a ,d s ) = ∫ l Pdx + Pdy + Rdz .      (4)
                                      l                        l
Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кри-
вая ℓ, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее на-
чалом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля
→                                                                                      →
a ( M ) по замкнутой кривой ℓ и обозначается символом Ц l ( a ) :

                          →           → →                          →       →
                     Ц l ( a ) = ∫ ( a , τ 0 )ds = ∫ ( a ,d s ) = ∫ Pdx + Pdy + Rdz .              (5)
                                  l                        l                       l


                                                          Примеры

                                                                               →           →   →
27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля a = y 2 i + x j вдоль кривой x=3cost, y=sint
                                                         с
обходом по часовой стрелке.
Решение. Данная кривая является эллипсом. Обход кривой совершается по часовой стрелке, по-
этому t меняется от 2π до 0. Следовательно, циркуляция вычисляется следующим образом:
        →    →       0                             3 0
Ц = ∫ ( a , d r ) = ∫ ( − 3 sin 3t + 3 cos 2 t)dt = ∫ ( 1 − cos 2t)dt = −3π . Ответ: –3π
     γ
                     2π                            2 2π
                                            →             →        →       →
28. Вычислить циркуляцию вектора a = − y i + x j + k вдоль окружности x 2 + y 2 = 1, z = 0 в по-
ложительном направлении.
Решение. Параметрическое уравнение окружности: x=cost, y=sint, z=0, 0 ≤ t ≤ 2π. Поскольку P = –
y=

= -sint, Q=x=cost, R=1, dx= –sintdt, dy=costdt, dz=0, то по определению циркуляции получаем: