Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 11 стр.

                                                           11




где поверхностный интеграл берется на внешней стороне поверхности Ф, которая служит грани-
цей G.
Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса.

                                                               ∂P ∂Q ∂R
 Следствие. Если функции P, Q, R таковы, что                     +  +   = 1 , то интеграл в левой части ра-
                                                               ∂x ∂y ∂z
венства

(1) равен объему области G, т.е.      ∫∫∫ dxdydz = V (G) , и из формулы (1) получается формула для
                                      G
      вычисления объема области G с помощью интеграла по ее поверхности:
(2)
                                   V (G ) = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
                                                   Ф


                                                       Примеры

34. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить интеграл
П = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy , где Ф – внешняя сторона сферы (x–a)2+(y-b)2+(z–c)2=R2.
       Ф


 Решение. По формуле Остроградского-Гаусса имеем:

                                          П = ∫∫∫ (2 x + 2 y + 2 z )dxdydz ,
                                                   G
где G – шар (x–a)2+(y-b)2+(z–c)2≤R2. Для вычисления интеграла перейдем к сферическим коорди-
натам:

x=a+ρcosϕsinθ, y=b+ρsinϕsinθ, z=c+ρcosθ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.

Якобиан перехода равен ρ2sinθ. Уравнение границы области G имеет вид ρ = R. Следовательно,
        2π  π          R                                                       8
П = 2 ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ ρ 2 (a + b + c + ρ(cos ϕ sin θ + sin ϕ sin θ + cos θ))dρ = π(a + b + c) R 3 .
       0   0          0                                                        3
       8
Ответ: π(a + b + c) R 3 .
       3
 Пусть задана ориентированная поверхность (Ф), т.е. такая поверхность, в каждой точке кото-
                                  →                            →          →           →
рой выбран единичный вектор n ( M ) = cos α( M ) i + cos β( M ) j + cos γ ( M ) k , меняющийся на по-
                                                                                  →
верхности непрерывно. В случае замкнутой поверхности в качестве n (M ) будем всегда выби-
рать вектор внешней нормали.
                              →
Потоком П векторного поля a (M ) через ориентированную поверхность (Ф) называют поверхно-
                                                   → →
стный интеграл (первого рода): П =          ∫∫ ( a , n )ds .
                                            (Ф )
                                                         →
Дивергенция (расходимость) векторного поля a (M ) может быть определена выражением:
    →         ∂P ∂Q ∂R                                    →
div a ( M ) =   +  +   , т.е. дивергенция векторного поля a (M ) представляет собой скаляр-
              ∂x ∂y ∂z