Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
через (Ф
1
) и рассмотрим замкнутую поверхность )(
2
ФФ(Ф ∪)(=)
1
, где (Ф
2
) – круг радиуса R=1
на плоскости
XOY. Из формулы Гаусса - Остроградского вытекает, что поток через поверхность
(
Ф) равен нулю. Действительно, для данного поля
01
22
=⋅
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
z
x
y
y
xz
R
y
Q
x
P
adiv
.
Рис. 4
Следовательно,
∫∫∫∫
=+
→→→→
)()(
21
0),(),(
ФФ
dsnadsna . Отсюда искомый поток через поверхность (Ф
1
):
∫∫∫∫∫∫
π==−−=
→→→→
)()()(
),(),(
221
ФФФ
dsdskadsna .
Ответ: π.
38. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток векторного поля
→→→→
++= kzjyixa
222
через полную поверхность конуса
0,1
22
=+−= zyxz
.
Решение. Найдем дивергенцию векторного поля:
)(2)()()(
222
zyxz
z
y
y
x
x
adiv ++=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
→
. Тогда
∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫
ρ−π
→
π
=+ϕρ+ϕρρρϕ=++==
)()(
)sincos()(
G
1
0
1
0
2
0
G
3
dzzdd2dxdydzzyx2dxdydzadivП .
Упражнения
Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностные интегралы в интегра-
лы по объему:
39.
∫∫
γ+β+α
)(
)coscoscos(
Ф
dszyx .
40.
∫∫
++++
)(
))((
Ф
222
dxdydxdzdydzzyx
.
41.
∫∫
++
)(Ф
xzdzdxyzdydzxydxdy
С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить следующие интегралы:
42.
∫∫
=++−γ+β+α
)(
2
2
2
2
2
2
1эллипсоидаьповерхностгде,)coscoscos(
Ф
c
z
b
y
a
x
Фdszyx
43.
∫∫
=++−γ+β+α
)(
2222333
сферыьповерхностгде,)coscoscos(
Ф
RzyxФdszyx
44.
∫∫
≤≤=−+−++
)(
2
2
2
2
2
2
222
)0(0конусаьповерхностгде,
Ф
bz
b
z
a
y
a
x
Фdxdyzdzdxydydzx
                                                                            13


через (Ф1) и рассмотрим замкнутую поверхность (Ф) = (Ф1 ) ∪ (Ф2 ) , где (Ф2) – круг радиуса R=1
на плоскости XOY. Из формулы Гаусса - Остроградского вытекает, что поток через поверхность
(Ф) равен нулю. Действительно, для данного поля
     →   ∂P ∂Q ∂R ∂ 2 ∂ 2 ∂
 div a =    +    +    =   y +    x + ⋅1 = 0 .
         ∂x ∂y ∂z ∂x          ∂y      ∂z
                                                             Рис. 4
                                    → →                 → →
Следовательно,               ∫∫ ( a , n )ds +   ∫∫ ( a , n )ds = 0 . Отсюда искомый поток через поверхность (Ф1):
                            (Ф1 )               (Ф2 )
                                                         → →                →    →
                                                  ∫∫ ( a , n )ds = − ∫∫ ( a , − k )ds = ∫∫ ds = π .
                                                 (Ф1 )              (Ф2 )                (Ф2 )

Ответ: π.
38. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток векторного поля
→            →          →      →
a = x2 i + y2 j + z2 k

через полную поверхность конуса z = 1 − x 2 + y 2 , z = 0 .
  Решение. Найдем дивергенцию векторного поля:
    →   ∂        ∂         ∂
div a = ( x 2 ) + ( y 2 ) + ( z 2 ) = 2( x + y + z ) . Тогда
        ∂x       ∂y        ∂z
                      →                                                     2π       1   1−ρ                                       π
П = ∫∫∫ div a dxdydz = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz = 2 ∫ dϕ∫ ρdρ∫                                  (ρ cos ϕ + ρ sin ϕ + z )dz =        .
        (G )                          (G )
                                                                        0            0   0                                         3

                                                                 Упражнения

Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностные интегралы в интегра-
лы по объему:

39.    ∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )ds .
      (Ф )

40. ∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )(dydz + dxdz + dxdy) .
      (Ф )

41.    ∫∫ xydxdy + yzdydz + xzdzdx
      (Ф )
С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить следующие интегралы:

                                                                                                       x2 y2 z 2
42.    ∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )ds, где Ф − поверхность эллипсоида                              +  +
                                                                                                       a2 b2 c2
                                                                                                                 =1
      (Ф )




       ∫∫ ( x
                 3
43.                  cos α + y 3 cos β + z 3 cos γ )ds, где Ф − поверхность сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2
      (Ф )



                                                                                             x2        y2       z2
       ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy, где Ф − поверхность конуса
           2        2        2
44.                                                                                                +        −        = 0 (0 ≤ z ≤ b )
      (Ф )                                                                                   a2        a2       b2

Страницы