Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 15 стр.

                                                           15




                                         ∂R       ∂Q                ∂LP ∂R            ∂Q ∂P
           ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ (( ∂y − ∂z ) cosα + (
                                     Ф
                                                                     ∂z
                                                                        − ) cos β + (
                                                                         ∂x
                                                                                        − ) cos γ )ds,
                                                                                      ∂x ∂y

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Сто-
                                              →
кса есть циркуляция векторного поля a вдоль контура L, а правая часть представляет собой по-
ток через поверх

                                                       ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P
ность Ф векторного поля с координатами                   −  ,  −  ,  −   .
                                                       ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

 Эта формула названа по имени английского физика и математика Д. Стокса. Её формулу можно
переписать также в следующем виде:

                 ∂R    ∂Q                ∂P       ∂R              ∂Q   ∂P
             ∫∫ (( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dxdz + ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫LPdx + Qdy + Rdz.
             Ф


Формула Стокса остается верной для иной ориентированной поверхности Ф с кусочно-гладким
краем L , которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число глад-
ких кусков, проецирующихся на все три плоскости координат. Ориентированная поверхность,
которую можно разбить на конечное число и плоского треугольников, называется полиэдральной
поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима
формула Стокса.

                                                  Примеры
                                              →        →   →    →
49. Вычислить циркуляцию вектора a = y i + x j + k вдоль окружности x2+y2=1, z=0 в положи-
тельном направлении.
Решение. В этом случае P=y; Q=x; R=1. Следовательно,

                            ∂Q ∂P             ∂R ∂Q    ∂P ∂R
                              −   = 1 − (−1);   −   =0   −   = 0.
                            ∂x ∂y             ∂y ∂z    ∂z ∂x
по формуле Стокса
                                                                            2π   1
                         Ц=        ∫∫ (1 − (−1))dxdy = 2 ∫∫ dxdy = 2 ∫ dx ∫ ρdρ = 2π.
                               (Ф )                        (Ф )             0    0
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:

50 I = ∫ ydx + zdy + xdz , где L - окружность x2+y2+z2 a2, x+y+z=0, пробегаемая против хода часо-
      L
вой стрелки, если смотреть с положительной оси Ox.
Решение. Применив формулу Стокса и взяв в ней в качестве поверхности Ф круг радиуса а, ле-
жащий в плоскости x+y+z=0, получаем:

                      I = − ∫∫ dydz + dzdx + dxdy = − ∫∫ (cos α + cos β + cos γ )ds,
                            (Ф )                                  Ф