Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 14 стр.

                                                                     14


                                              →                →          →    →
45. Найти дивергенцию вектора a = ( x − y 2 ) i + x 2 z j + xy k .

46. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл

∫∫ x
         2
              ydydz + y 3 dxdz + zxdxdy в интеграл по объему.
П

                                                       ∫∫ x
                                                               2
47. Вычислить поверхностный интеграл                               zdxdy + y 2 xdydz , где Ф – полная поверхность пара-
                                                       (Ф )
болоида z=x2+y2, ограниченного плоскостью z=1.

48. Пользуясь формулой Остроградского–Гаусса, вычислить поверхностные интегралы по внеш-
ней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните её до замкнутой).

       ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy, где Ф − сфера x
                                                           2
а)                                                             + y2 + z2 = a2 ;
       (Ф )
б)
∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x − y)dxdy, где Ф часть конической поверхности x
                                                                                                   2
                                                                                                       + y 2 = z 2 при 0 ≤ z ≤ h
(Ф )
;
в) ∫∫ yzdydz + zxdzdx + xydxdy, где Ф − граница тела x 2 + y 2 ≤ a 2 , 0 ≤ z ≤ h ;
     (Ф )

г) ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy, где Ф − часть поверхности z = 1 − x 2 + y 2 при 0 ≤ z ≤ 1 ;
     (Ф )

д) ∫∫ ydydz + zdzdx + xdxdy, где Ф − поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z = a
     (Ф )
(a>0), x=0, y=0, z=0;

е) ∫∫ x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, где Ф − сфера x 2 + y 2 + z 2 = x ;
     (Ф )

        ∫∫ x       dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, где Ф − поверхность куба 0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ a; 0 ≤ z ≤ a .
               2
ж)
       (Ф )



                                                     4. Формула Стокса
                                                                      →
 Пусть в области G определено векторное поле a = ( P, Q, R); L – замкнутый контур, лежащий в
области G; Ф- произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф⊂G (говорят
                                                       →
"поверхность Ф натянута на контур L"); n ( M ) = (cos α, cos β, cos γ ) –единичный вектор нормали
на выбранной стороне поверхности Ф.
  Поверхность Ф называется xyz – проектируемой, если она однозначно проектируется на каж-
дую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую поверхность мож-
но задать с помощью любого из уравнений: z=z(x,y), (x,y)∈ G1; x=x(y,z), (y,z)∈G2; y=y(z,x), (z,x)∈
G3.
Пусть Ф – гладкая xyz – проектируемая ориентированная поверхность, ограниченная кусочно-
гладким контуром L и расположенная внутри области G, в которой функции P(x,y,z), Q(x,y,z),
R(x,y,z) имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула
Стокса