Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 12 стр.

                                                                          12


ное поле в области G.
         →       →        →       →                                                →                → → →
  Если a = P i + Q j + R k – разложение векторного поля a по ортам i , j , k , то формулу, опре-
деляющую поток, можно записать в виде:

                                               П=       ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )ds ,
                                                        (Ф )
либо записать в форме поверхностного интеграла (второго рода):

                                                    П=         ∫∫ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy .
                                                               (Ф )
  Теперь теорему Остроградского-Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток
векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции век-
торного поля по объему, ограниченному этой поверхностью.
                                                    →           →     →   →
35. Найти поток векторного поля a = y i − x j + z k через замкнутую поверхность (Ф), состоящую
из поверхности конуса x2+y2=z2 и плоскости z=1. См. рис 3.

                              →                ∂P ∂Q ∂R ∂     ∂       ∂
 Решение. Имеем div a ( M ) =                    +  +  =   y + (− x) + z = 1 .
                                               ∂x ∂y ∂z ∂x    ∂y      ∂z

                      z                                                                        →
                                                         Следовательно, П = ∫∫∫ div a dv = ∫∫∫ dv = V , где V–объем
         →
         n
                                                                                    (G )             (G )

                      (0,0,1)                            конуса.
                                                                           1                1
                                                         Так как V =         π R 2 H, то П = π . Ответ: π/3.
                                                                           3                3
                                                                                                     →      →       →   →
                                           →             36. Найти поток векторного поля a = xy 2 i + yz 2 j + zx 2 k че-
                                           n
                                                         рез поверхность сферы x2+y2+z2=R2.
                                                           Решение. В данном случае поверхность (Ф) – замкнутая,
                  0                             y        поэтому для вычисления потока можно применить формулу
                                                         Гаусса - Остроградского. Имеем

     x                                                           →    ∂P ∂Q ∂R
                                                          div a =       +  +   = y 2 + z 2 + x 2 = ρ 2 , П = ∫∫∫ ρ 2 dv .
                                                                      ∂x ∂y ∂z                               (G )
                 Рис. 3.

Вычисляем интеграл в сферических координа-                                                     z
тах:
                                                                                               (0,0,1)
             2π                       R         4
      П = ∫ dϕ∫ sin θdθ ∫                 ρ dρ = πR 5 .
                                           4
             0        0               0         5

37. Найти поток векторного поля                                                                                 →
→
     2
         →
             2
                 →    →                                                                                         n
a = y i + x j + k через часть поверхности
параболоида 1 – z = x2+y2 (0 ≤ z ≤ 1). См.
рис. 4.                                                                                    0
 Решение. Обозначим данную поверхность                                                                          y



                                                                               x