Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

10
∫∫∫∫
==+=+−−=++−=
πππ
πdtt)dtt(t)dttt)t)(((dzxdyy)dx(Ц
2
0
2
0
22
2
0
2cossincoscossinsin
γ
.
Ответ: 2
π
29. Найти циркуляцию векторного поля
→→→→
−+++= kyxjzyxixyzMa
22
)()(
вдоль контура квад-
рата
ABCDA, определяемого уравнениями:
–x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z=0. См. рис. 2.
Решение. Имеем:
dyyxdzyxdyzyxdxxyzrda )()(),(
22
+=−+++=
→→
, так как
z=0 и dz=0. Разбиваем искомую циркуляцию на четыре
линейных интеграла, причем в качестве параметра на каж-
дой стороне квадрата выбираем координату
y:
∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
−
−
→→→→→→→→
−=−+++
++−=+++++
++=+++=
a
a
a
a
DAСDBС
ABDAСDBСAB
adyadyay
adydyaydyyxdyyxdyyx
dyyxrdardardardaЦ
0
0
2
0
0
2)()2(
)2()()()(
)(),(),(),(),(
Ответ:
–2а
2
.
Упражнения
30. Найти циркуляцию поля
→→
= iya
по контуру окружности x=bcost, y=b+bsint, расположенной в
плоскости
ХОY.
31. Найти циркуляцию векторного поля
→→→→
++= kzxjyzixya
вдоль окружности x
2
+y
2
=R
2
; z=0.
32. Вычислить циркуляцию поля
→→→→
++= kzjiyxa
2
вдоль окружности x
2
+y
2
=R, z=0.
33. Найти циркуляцию Ц вектора
)постоянная( −++−=
→→→→
ckcjxiya :
а) вдоль окружности
x
2
+y
2
=1, z=0;
б) вдоль окружности (
x–2)
2
+y
2
=1, z=0.
3.Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция
Пусть функции z
1
(x,y) и z
2
(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D
и
z
1
(x,y)
≤
z
2
(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)
∈
D , z
1
(x,y)
≤
z
≤
z
2
(x,y)} называется z–цилиндрической.
Аналогично определяются
х–цилиндрическая и y–цилиндрическая области. Область G называет-
ся простой, если ее можно разбить на конечное число как
х–цилиндрических, так и y–
цилиндрических и
z-цилиндрических областей.
Теорема. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные
z
R
y
Q
x
P
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,,
не-
прерывны в простой замкнутой области
G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф. То-
гда справедлива формула
∫∫∫ ∫∫
++=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
G Ф
RdxdyQdzdxPdydzdxdydz
z
R
y
Q
x
P
)(
, (1)
x
y
a
B
C
A
D
0 
                                                                      10


                                 2π                                                           2π                          2π
Ц = ∫ ( − y)dx + xdy + dz = ∫ (( − sin t)( − sin t) + cos t cos t)dt = ∫ ( sin 2 t + cos 2 t)dt = ∫ dt = 2π .
                                 0                                                            0                           0
     γ
Ответ: 2π
                                                     →                         →                   →         →
29. Найти циркуляцию векторного поля a ( M ) = xyz i + ( x + y + z ) j − x 2 y 2 k вдоль контура квад-
рата

ABCDA, определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z=0. См. рис. 2.

                   y                               Решение. Имеем:
                                                    →       →
                        B                          ( a , d r ) = xyzdx + ( x + y + z )dy − x 2 y 2 dz = ( x + y )dy , так как
                                                   z=0 и dz=0. Разбиваем искомую циркуляцию на четыре
                                                   линейных интеграла, причем в качестве параметра на каж-
                             a
                                                   дой стороне квадрата выбираем координату y:
                                          C                       →        →             →    →          →   →        →       →
     A             0                           x   Ц =       ∫ ( a , d r ) + ∫ ( a , d r ) + ∫ ( a , d r ) + ∫ ( a , d r ) = ∫ ( x + y)dy +
                                                             AB                     BС              СD           DA               AB
                                                                                                                  a                    0
                                                    ∫ ( x + y)dy + ∫ ( x + y)dy + ∫ ( x + y)dy = ∫0 (2 y − a)dy + ∫a ady +
                                                   BС                          СD                  DA
                        D                               −a                               0
                                                   + ∫ (2 y + a )dy + ∫ (−a )dy = −2a 2
                                                        0                                −a


Ответ: –2а2.

                                                        Упражнения
                                      →       →
30. Найти циркуляцию поля a = y i по контуру окружности x=bcost, y=b+bsint, расположенной в
плоскости ХОY.
                                                     →              →          →         →
31. Найти циркуляцию векторного поля a = xy i + yz j + zx k вдоль окружности x2+y2=R2; z=0.
                                              →         →       →          →
32. Вычислить циркуляцию поля a = x 2 y i + j + z k вдоль окружности x2+y2=R, z=0.
                                              →         →         →        →
33. Найти циркуляцию Ц вектора a = − y i + x j + c k (c − постоянная) :
а) вдоль окружности x2+y2=1, z=0;
б) вдоль окружности (x–2)2+y2=1, z=0.

                            3.Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция

  Пусть функции z1(x,y) и z2(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D
и z1(x,y) ≤ z2(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)∈D , z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)} называется z–цилиндрической.
Аналогично определяются х–цилиндрическая и y–цилиндрическая области. Область G называет-
ся простой, если ее можно разбить на конечное число как х–цилиндрических, так и y–
цилиндрических и z-цилиндрических областей.
                                                                                       ∂P ∂Q ∂R
  Теорема. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные           ,  ,   не-
                                                                                       ∂x ∂y ∂z
прерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф. То-
гда справедлива формула

                            ∂P   ∂Q           ∂R
                       ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ,                                                             (1)
                       G                                          Ф

Страницы