Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 16 стр.

                                                       16


где cos α, cos β, cos γ - направляющие косинусы нормали к поверхности Ф – плоскости x+y+z=0,
так как нормаль этой плоскости образует с положительным направлением оси Oz острый угол, то
в каждой из формул для вычисления cos α, cos β, cos γ перед знаком радикала возьмем знак "+".

                                     1
Очевидно, cos α = cos β = cos γ =       , в силу чего имеем:
                                      3
                                          I = − 3 ∫∫ ds = − 3πa 2
                                                   S
                2
Ответ: − 3πa

51. I = ∫ y 2 z 2 dx + x 2 z 2 dy + x 2 y 2 dz, L - замкнутая кривая x=acost, y=acos2t, z=acos3t, пробегается
           L
в направлении возрастания параметра t.
 Решение. При изменении t от 0 до π подвижная точка М(x,y,z) пробегает кривую L от точки
M0(a,a,a) до точки M1(-a,a,-a), а при изменении t от π до 2π точка М пробегает ту же самую часть
кривой L в противоположном направлении – от точки М, до точки М0. Таким образом, точки
замкнутой кривой L взаимно накладываются и кривая L не ограничивает никакой поверхности,
вследствие чего I=0.
Ответ: 0.

                                               Упражнения

52. Интеграл ∫ ( y 2 + z 2 )dx +( x 2 + z 2 )dy + ( x 2 + y 2 )dz , взятый по некоторому замкнутому конту-
               L
ру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, "натянутой" на этот
контур.
53. Вычислить интеграл ∫ x 2 y 2 dx +dy + zdz , где контур L – окружность x2+y2= R2, z=0, используя
                            L

формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z = + R 2 − x 2 − y 2 . Интегрирование
по окружности в плоскости xOy ведется в положительном направлении.

                                       4. Ротор векторного поля

С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует за-
вихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с
завихренностью, является ротор.
                                                  →
Рассмотрим сначала плоское векторное поле а и какой-то контур L , окружающий выбранную
точку М0. Величину площади области, заключенной внутри L, обозначим через S. Тогда отноше-
ние
                                   1 → →
                                  S ∫L
                                       (a, d z )                                        (1)

                                                   →
дает среднюю плотность циркуляции вектора а на площадке S. Плотность циркуляции в точке
М0 характеризуется пределом выражения (1) при условии стягивания контура L в точку М0, тогда
площадь S, охватываемая контуром L, стремится к нулю, таким образом, если предел
       1 → →
 lim ∫ ( a , d r ) существует, то он дает величину завихренности поля в точке М0.
L→ M 0 S
( S →0 ) L