Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 18 стр.

                                                                          18


                                                         →                →                    →
                                    i                                     j                 k
                   →   → →         ∂                                      ∂                 ∂             →        →        →     →
Отсюда находим rot υ = ∇× υ =                                                                      = 2ω x i + 2ω y j + 2ω z k = 2 ω .
                                   ∂x                                    ∂y                ∂z
                              zω y − yω x                            xω x − zω x       yω x − xω y

                             →
Таким образом, rot υ , характеризуя "вращательную компоненту" поля скоростей, равен удвоен-
ной скорости вращения.
57. Доказать, что завихренность поля достигает наибольшего значения в направлении ротора.
                                                 →                        →
Решение. Завихренность поля a в направлении n равна проекции ротора на это направление,
                                                                                           →
т.е.                                                 .Отсюда видно, что поле a наибольшую завихренность имеет в
                                                                                                        →
случае, когда                            =1, а это означает, что направление нормали n совпадает с направле-
             →                                                                             →
нием rot a , причем наибольшая завихренность равна | rot a | .
                                                             →        →        →       →
58. Вычислить ротор векторного поля: a = y2 i - x2 j +z2 k .

                         →        →          →
                 i                 j         k
            →   ∂                 ∂          ∂                →
Решение rot a =                                 = −2( x + y ) k .
                ∂x                ∂y         ∂z
                y2               − x2        z2

                         →
Ответ: − 2(x + y) k .

                                                                 Упражнения

59. Доказать свойства ротора:
         →        →→                     →
а) rot с = 0; [∇ c ] = 0 , где c =const
             →       →               →               →
б) rot (c1 a1 + c2 a 2 ) = c1rot a1 + c2 rot a 2 ,

 →       →        →              →→                  →→
[∇, (c1 a 1 + c 2 a 2 )] = c1[∇ a 1 ] + c 2 [∇ a 2 ], где с1, с2 – постоянные коэффициенты.

             →               →               →   →       →       →    →            → →
в) rot u a = [ grad u , a + u rot a ;[∇, u a 1 ] = [∇ u , a 1 ] + u[∇, a 1 ], где u - скалярное поле.

60. Вычислить ротор векторного поля:
     →                           →    →      →
а) a = sin( 2 x − y − z )(2 i − j + R);
     →           →       →       →
б) a = xyz ( x i − y j + z R);
     →                           →       →       →
в) a = arctg ( x − y + z )( i − 3 j − 2 k );
                                                             →                     →           →   →
61. Вычислить ротор векторного поля a = e x + 2 y +3 z (3 x i + 2 y j + z k ) в точке М0(3,-3,1).