Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

19
62. Найти функцию векторного поля
→→→
−= jxiya вдоль замкнутой линии ABОA, где АВ – дуга
астроиды, определяемой уравнением:
3
2
3
2
3
2
Ryx =+
или x=Rcos
3
t, y=Rsin
3
t.
Указание. Следует применить формулу Стокса:
.),(
)(
dsnarotRdzQdyPdxЦ
Ф
L
→→
∫∫∫
=++=
Рис. 4.
3. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля
→→→→
−+++= RyxizyxixyzMa
22
)()(
вдоль контура квадрата АВСDА определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a;
z=0.
64.
Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторного поля
→→→→
−+−++= Rxyjzyizxa )()()( вдоль окружностей:
а) (y+1)
2
+(z–1)
2
=1, x=5 (вектор положительной нормали
→→
= in
);
б) (x–3)
2
+(y–2)
2
=4, z=0 (вектор положительной нормали
→→
= kn
)
65. Доказать, что
).()())()((
2121
MarotMarotMaMarot
→→→→
+=+
6. Потенциальное поле и его свойства
Векторное поле
)(Ma
→
называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная
функция (скалярное поле) )(Mυ , заданная в (G), что для всех точек этой области:
υ(M)grad(M)a
=
→
. Функцию
)(Mυ
называют потенциалом поля
)(Ma
→
.
В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только на-
чальной и конечной точками пути, а именно
),υ(Mυ(M))r,da(
L
0
−=
→→
∫
где
М
0
и М – начальная и конечная точка линии (L).
Верно и обратное: если линейный интеграл поля
→
a
(М) не зависит от пути, то поле
→
a
(М) потен-
циально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает,
что если
υ(M)
один из потенциалов поля
)(
Ma
→
, то выражения
Cυ(M)
+
при любом постоянном
А
В
0
y
x 
                                                                                       19


                                                         →             →               →
62. Найти функцию векторного поля a = y i − x j вдоль замкнутой линии ABОA, где АВ – дуга
                                                               2               2            2
астроиды, определяемой уравнением: x                               3
                                                                       +y          3
                                                                                       =R       3
                                                                                                    или x=Rcos3t, y=Rsin3t.

Указание. Следует применить формулу Стокса:

                                                  → →
 Ц = ∫ Pdx + Qdy + Rdz =              ∫∫ (rot a , n )ds.
       L
                                      (Ф )


             y
                 А




                                  В
             0           x
            Рис. 4.
3. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля
→             →                   →               →
a ( M ) = xyz i + ( x + y + z ) i − x 2 y 2 R

вдоль контура квадрата АВСDА определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a;
z=0.

64. Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторного поля
→            →            →                   →
a = ( x + z ) i + ( y − z ) j + ( y − x) R вдоль окружностей:
                                                                                                          →   →
а) (y+1)2 +(z–1)2=1, x=5 (вектор положительной нормали n = i );
                                                                                                          →   →
б) (x–3)2 +(y–2)2=4, z=0 (вектор положительной нормали n = k )
                              →               →                            →                          →
65. Доказать, что rot ( a 1 ( M ) + a 2 ( M )) = rot a 1 ( M ) + rot a 2 ( M ).

                                             6. Потенциальное поле и его свойства
                     →
Векторное поле a (M ) называют потенциальным в области (G), если существует такая скалярная
функция (скалярное поле) υ(M ) , заданная в (G), что для всех точек этой области:
→                                                                                                                 →
a (M) = grad υ(M) . Функцию υ(M ) называют потенциалом поля a (M ) .
В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только на-
чальной и конечной точками пути, а именно
                                                              →            →
                                                        ∫L   ( a ,d r ) = υ(M) − υ(M 0 ),

где М0 и М – начальная и конечная точка линии (L).
                                                                                        →                                     →
Верно и обратное: если линейный интеграл поля a (М) не зависит от пути, то поле a (М) потен-
циально. Потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Это означает,
                                                                       →
что если υ(M) один из потенциалов поля a ( M ) , то выражения υ(M) + C при любом постоянном

Страницы