Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 21 стр.

                                                                            21


                                               →           →        →
                                             i       j              k
                                       →    ∂       ∂               ∂          →       →         → →
                                   rot a =                              =(1–1) i +(1–1) j +(1–1) k = 0 ,
                                            ∂x      ∂y              ∂z
                                           x+z     z+x             x+ y

                                                                            →
что и доказывает потенциальный характер поля a .
Найдем потенциал двумя способами.
1 способ.
Для нахождения потенциала воспользуемся формулой (∗), беря в качестве М0 начало координат:

           x                           y                   z                 x               y       z
υ(x,y,z) = ∫ P(x,0 ,0 )dx + ∫ Q(x,y,0 )dy + ∫ R(x,y,z)dz = ∫ 0dx + ∫ xdy + ∫ (x + y)dz = 0 + xy + (x + y)z =
           0                           0                   0                 0               0       0
= xy + yz + zx.
2 способ.
Будем снова считать М0(0,0,0).
       →       →           →       →
Пусть r =x i +y j +z k – радиус-вектор точки М(x,y,z), а точка N пробегает отрезок M0М; ее ра-
                   →       →
диус-вектор ρ = r t (0 ≤ t ≤ 1) . Точка N имеет координаты tx, ty, tz.

           →           →                                                             M →                 →   1 →   →
Отсюда d ρ = r dt. Положим υ(M 0 ) = 0, тогда υ(M) = ∫ ( a ( N ), d ρ ) = ∫ ( a (t ), r )dt .
                                                                                     0                       0


                                               →               →                 →               →
Для рассматриваемого поля a (t)=t(y+z) i + t(z+x) j +t(x+y) k .
 →    →
( a (t), r )=t(y+z)x+t(z+x)y+t(x+y)z=2t(xy+yz+zx).

                                                       1
Следовательно, υ(М ) =(xy+yz+zx)                   ∫ 2tdt = xy+yz+zx.
                                                       0
Ответ: xy+yz+zx.
67. Доказать, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
                           →
Решение: Пусть a - потенциальное поле и (L) - замкнутый контур, началом и концом которого
является точка М(М=М0).
                       →       →
Тогда Ц = ∫ ( a ,d r ) = υ(M) − υ(M 0 ) = υ(M) − υ(M 0 ) = 0 , что и требовалось доказать.
                   L


                                                                   Упражнения
               →           vm   →
68. Пусть F = −    r – гравитационное поле (поле сил тяготения), которое представляет собой
                r3
силу притяжения единичной массы, помещенной в точку М, массой m, находящийся в начале ко-
ординат. Сила определена во всех точках, кроме начала координат и образует векторное поле –
                                                                                         →
поле тяготения точечной массы m. Показать, что поле F потенциально во всем пространстве,
кроме начала координат и найти его потенциал.
                                           →               →                     →                   →
69. Проверить , что поле a =(3yz+x2) i + (2y2+3xz) j +(z2+3xy) k является потенциальным, и най-
ти его потенциал.
                                                   →           →        →        →
70. Доказать, что векторное поле a = y2 i +2xy j +z k потенциально, и найти его потенциал.