Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 23 стр.

                                                        23


                                                  →→                     →
                                      П=   ∫∫ ( a , n )ds = ∫∫∫ div a dυ = 0 .
                                           (Ф )              (G)
                              →                                                      →
Пусть соленоидальное поле a задано в односвязной области. Тогда поток вектора a через лю-
бую поверхность S, натянутую на заданный контур L, не зависит от вида этой поверхности, а за-
висит только от контура L.
                 →
Возьмем в поле a замкнутый контур L и проведем через его точки векторные линии. Образо-
вавшаяся поверхность называется векторной трубкой. Любая другая векторная линия, не прохо-
дящая через точки контура L , либо целиком лежит в векторной трубке, либо находится вне ее. В
случае поля скоростей стационарного потока жидкостей векторная трубка – это та часть про-
странства, которую запасной при своем перемещении фиксированный объем жидкости.
Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой труб-
ки. Для соленоидальных полей имеет место так называемый закон сохранения интенсивности
векторной трубки.
                              →
Если соленоидальное поле a определено в односвязной области G, то интенсивность векторной
трубки постоянна вдоль всей трубки.
В соленоидальном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля; они
либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае не-
ограниченного поля).

                                                  Упражнения

75. Проверить, будут ли соленоидальными поля, указанные в задаче 74.

                                       8. Векторный потенциал
                        →
Векторный потенциал А (М) определяется с точностью до градиента произвольного соленои-
дального поля f(М).
                        →         →
В самом деле, если rot А (М)= a (М) и f(M) – произвольное скалярное поле, то поскольку
                                  →                              →               →
rot grad f(M)=0, получаем rot( А (М)+grad f(M)) = rot А (М)+ rot grad f(M)= a (М).
                                                                     →
Для того чтобы непрерывно дифференцируемое поле a (М) было соленоидальным, необходимо и
                                                                 →
достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал А (М). Необходимость этого условия явля-
ется следствием разрешимости системы дифференциальных уравнений:

                              ∂Az ∂Ay      ∂A  ∂A       ∂Ay ∂Ax
                         P=       −    ;Q = x − z ; R =     −                                  (1)
                               ∂y   ∂z      ∂z  ∂x       ∂x   ∂y
                 →     →          →    →          →
при условии div a =0 ( A = Ax i + Ay j + Az k ).
                                                             →
Покажем как можно найти векторный потенциал А (М). поскольку в выборе этого вектора име-
ется значительная доля произвола примем Ax=0. Тогда система (1) примет вид
                           ∂Az ∂Ay         ∂A      ∂Ay
                               −     = P; − z = Q;     =R                              (2)
                            ∂y   ∂z         ∂x      ∂x
Таким образом, задача сводиться к определению функции Ay и Az, удовлетворяющих условиям
                                                                             →
(2) при условии, что известные функции P, Q, R таковы, что div a =0. Пусть М0(x0,y0,z0) – фикси-
рованная, М(x,y,z) – произвольные точки параллелепипеда Ω.