Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

22
71. Выяснить, является ли векторное поле
→
a
=
22
yx
y
+
−
→
i
+
→
+
j
yx
x
22
+2
→
k потенциальным.
72. Даны векторные поля:
→
a
1
=(y+z)
→
i + (x+z)
→
j+(x+y)
→
k ;
→
a
2
=f(x)
→
i+ f
2
(y)
→
j+ f
3
(z)
→
k ;
→
a
3
=x
→
i+
y
→
j+y
→
k
.
Выяснить какие из них являются потенциальными.
73. Проверить, будет ли потенциальным поле
→
a . В случае потенциальности поля найти его по-
тенциал u(x,y,z).
а)
→
a
=(-2x-yz)
→
i
+(-2y-xz)
→
j
+(-2z-xy)
→
k
;
б)
→
a =(2x-yz)
→
i +(2y-xz)
→
j +(2z-xy)
→
k
;
в)
→
a
=(2x+yz)
→
i
+(2y+xz)
→
j
+(2z+xy)
→
k
;
г)
→
a
=(2x-4yz)
→
i
+(2y-4xz)
→
j
+(2z-4xy)
→
k
;
д)
→
a=(2x-3yz)
→
i+(2y-3xz)
→
j+(2z-3xy)
→
k
;
е)
→
a
=(-3x+yz)
→
i
+(-3y+xz)
→
j
+(-3z+xy)
→
k
;
ж)
→
a=(2x+2yz)
→
i+(2y+2xz)
→
j +(2z+2xy)
→
k ;
з)
→
a =(4x+yz)
→
i +(2y+xz)
→
j +(2z+xy)
→
k
.
7. Соленоидальное поле и его свойства
Векторное поле
→
a
(М) называют соленоидальным в области (G), если во всех точках этой области
0)( =
→
Madiv
.
С понятием соленоидального поля тесно связано понятие векторного потенциала. Если в облас-
ти (G), в которой определено поле
→
a
(М) существует такое векторное поле
→
А
(М), что в каждой
точке области (G)
)()( MArotMa
→→
=
, то векторное поле
→
А
(М) называют векторным потенциалом
поля
→
а
(М) в области (G).
Для поля
→
a(М), обладающего векторным потенциалом в области (G), поток через любую замк-
нутую поверхность, содержащуюся в области (G), равен нулю.
Поле
→
a
(М), обладающее векторным потенциалом в области (G), является в ней соленоидальным
. Обратное, вообще говоря, неверно: для произвольно взятой области (G) соленоидальность поля
→
a(М) еще не гарантирует существования во всей области (G) векторного потенциала поля
→
a(М).
Однако, если ограничиться пространственно-односвязными областями, то соленоидальность по-
ля и наличие у него векторного потенциала являются эквивалентными свойствами. Таким обра-
зом, в пространственно-односвязной области условие div
→
a=0 является необходимым и доста-
точным для существования векторного потенциала.
Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что если соленоидальное поле задано в односвяз-
ной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность, принадлежащую этой об-
ласти, равен нулю: 
                                                                                22



                                                                        →         y    →    x   →    →
71. Выяснить, является ли векторное поле a = −                                         i+ 2     j +2 k потенциальным.
                                                                                x +y 2
                                                                                     2
                                                                                         x +y 2



                                            →               →               →            →   →   →   →       →   →   →
72. Даны векторные поля: a 1=(y+z) i + (x+z) j +(x+y) k ; a 2=f(x) i + f2(y) j + f3(z) k ; a 3=x i +
 →          →
y j +y k .
Выяснить какие из них являются потенциальными.
                                                                            →
73. Проверить, будет ли потенциальным поле a . В случае потенциальности поля найти его по-
тенциал u(x,y,z).
    →               →                   →                   →
а) a =(-2x-yz) i +(-2y-xz) j +(-2z-xy) k ;
    →               →               →                   →
б) a =(2x-yz) i +(2y-xz) j +(2z-xy) k ;
    →               →                   →                   →
в) a =(2x+yz) i +(2y+xz) j +(2z+xy) k ;
    →               →                   →                   →
г) a =(2x-4yz) i +(2y-4xz) j +(2z-4xy) k ;
    →               →                   →                   →
д) a =(2x-3yz) i +(2y-3xz) j +(2z-3xy) k ;
    →                   →                   →                   →
е) a =(-3x+yz) i +(-3y+xz) j +(-3z+xy) k ;
     →                      →                   →                   →
ж) a =(2x+2yz) i +(2y+2xz) j +(2z+2xy) k ;
    →               →               →                       →
з) a =(4x+yz) i +(2y+xz) j +(2z+xy) k .

                                                7. Соленоидальное поле и его свойства
                            →
Векторное поле a (М) называют соленоидальным в области (G), если во всех точках этой области
        →
div a ( M ) = 0 .
С понятием соленоидального поля тесно связано понятие векторного потенциала. Если в облас-
                                                            →                                            →
ти (G), в которой определено поле a (М) существует такое векторное поле А (М), что в каждой
                                →                   →                                    →
точке области (G) a ( M ) = rot A( M ) , то векторное поле А (М) называют векторным потенциалом
            →
поля а (М) в области (G).
                →
Для поля a (М), обладающего векторным потенциалом в области (G), поток через любую замк-
нутую поверхность, содержащуюся в области (G), равен нулю.
            →
Поле a (М), обладающее векторным потенциалом в области (G), является в ней соленоидальным
. Обратное, вообще говоря, неверно: для произвольно взятой области (G) соленоидальность поля
→                                                                                                                    →
a (М) еще не гарантирует существования во всей области (G) векторного потенциала поля a (М).
Однако, если ограничиться пространственно-односвязными областями, то соленоидальность по-
ля и наличие у него векторного потенциала являются эквивалентными свойствами. Таким обра-
                                                                                             →
зом, в пространственно-односвязной области условие div a =0 является необходимым и доста-
точным для существования векторного потенциала.
Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что если соленоидальное поле задано в односвяз-
ной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность, принадлежащую этой об-
ласти, равен нулю:

Страницы