Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 20 стр.

                                                                    20


С также являются потенциалами поля. Задание величины потенциала в какой- либо точке М0 об-
ласти (V) однозначно определяет потенциал любой точки М:

                                                                  М      →             →
                                           υ(M) = υ(M 0 ) + ∫ ( a ,d r ) ,                                                            (∗)
                                                                  М0


                      →     →                                            М        →        →
где вместо       ∫( L) ( a , d r ) использовано обозначение ∫М           0
                                                                              ( a , d r ) , поскольку интеграл не зависит от
пути.
                                                                                  →                      →             →              →
Если поле задано в декартовой координатной форме: a ( M ) = P( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R( x, y, z ) k ,
             z                          то для нахождения потенциала точки М(x,y,z) удобно
                                        взять линейный интеграл по ломанной М0М1М2М, зве-
                                        нья которой параллельны координатным осям.
                                        Предполагается, конечно, что ломаная М0М1М2М не
                                        выходит за пределы области (G). При таком выборе
                                        пути интегрирования и при дополнительном условии
                            М(x,y,z)
                                        υ(M 0 ) = 0 выражение (*) принимает вид:
                                                                             x                      y                  z
                                                y           υ(x,y,z) = ∫ P(x,y 0 ,z 0 )dx + ∫ Q(x,y,z 0 )dy + ∫ R(x,y,z)dz                  (*
                                                                             x0                     y0                 z0
                             М0(x0,y0,z0)                   При использовании этой формулы следует иметь в ви-
                                                            ду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов
    x                                    М2(x2,y2,z2)       одной буквой обозначают и верхний предел, и пере-
                     М1(x1,y1,z1)                           менную интегрирования, т.е.
                      Рис. 5.
        x                       x                   y                             y            z                   z

        ∫ P( x, y0 , z 0 )dx = ∫ P(t , y 0 , z 0 )dt; ∫ Q( x, y, z 0 )dy = ∫ Q( x, t , z 0 )dt; ∫ R( x, y, z )dz = ∫ R( x, y, t )dt
        x0                      x0                  y0                            y0           z0                 z0
                                                     →
Отметим, что потенциальность поля a (M ) и равенство нулю циркуляции поля по искомому про-
стому кусочно-гладкому замкнутому контуру являются эквивалентными свойствами.
                →                                                                                                 →          →
Если поле a (M ) потенциально в области (G), то в любой точке этой области rot a (M ) = 0 . Это
свойство потенциального поля является наиболее важным. Таким образом, потенциальное поле
→
a (М) является безвихревым. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ограничиться по-
верхностно односвязными областями, то для таких областей понятие потенциального и безвих-
ревого полей оказываются эквивалентными.

                                                              Примеры
                                     →          →            →               →
66. Проверить, что поле a =(y+z) i + (z+x) j +(x+y) k является потенциальным, и найти его по-
тенциал.
                       →
Решение. Поле a определено во всем пространстве, т.е. в односвязной области, поэтому доста-
                                     →
точно проверить, что rot a =0. Имеем: