Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 17 стр.

                                                                         17


                            →
Если векторное поле а - пространственное, то можно говорить о завихренности поля в каком-
                        →
либо направлении n .
                                 →                                                        →
Ротором векторного поля а в точке М0 обозначаемым rot а называется вектор, проекция кото-
                                     →
рого на каждое направление n равна пределу отношения циркуляции векторного поля по конту-
ру L плоской области G, перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой об-
ласти, когда размеры площади стремятся к нулю, а сама область стягивается в точку М0, т.е.

                                                         →        →                      1 → →
                                                                                         S ∫L
                                      Пр → rot a = (rot a ) → = lim                           (a, d r ) ,
                                             n                           n    L→ M 0
                                                                              ( S →0 )
                                                                                                      →
где L – контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору n , S- площадь области, огра-
ниченной этим контуром.
                                     →                            →                       →                 →
Если задано векторное поле a ( M ) = P( x, y, z ) i + Q( x, y , z ) j + R ( x, y, z ) k , где функции P, Q и R –
непре

рывно дифференцируемые в соответствующей области , то

                                                                                                       →    →    →
                                                                                    →     i                  j   k
                            →                  →                  →                  →   ∂                  ∂    ∂
                        rot a = ( R y' − Q z' ) i + ( Pz' − R x' ) j + (Q x' − Py' ) k =
                                                                                         ∂x                 ∂y   ∂z
                                                                                         P                  Q    R


                                                                 Примеры

                                                 →           →       →         →
54. Найти ротор векторного поля a = x 2 i + y 2 j − z 2 k .
                                                                 →       →
Решение. Ry' = Qz' = Pz' = Rx' = Qx' = Py' =0, то rot a = 0
        →
Ответ: 0
55. Найти rot (grad u), если u=x2+ y2+ z2
                                             →               →       →                                →
Решение. Поскольку grad u = 2x2 i + 2y2 j +2z2 k , то rot (grad u)= 0
        →
Ответ: 0
56. Найти ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с
                                             →               →       →        →
мгновенной угловой скоростью ω = ω x i + ω y j + ω z k .
Решение. Как известно, скорость твердого тела определяется по формуле

                                →        →       →
                                 i       j       k
                →   →       →                                                 →                        →              →
                υ = ω× r = ω x        ω y ω z = ( zω y − yω z ) i + ( xω z − zω x ) j + ( yω x − xω y ) k
                            x            y           z