Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
7. Найти .),,( векторпостоянныйcгдеrcgrad −
→→→
Решение. Пусть
→→→→
++= kγjβiαc ; тогда
,zγyβxαz)γyβx(α)r,c()r,cgrad(z;γyβxα)r,c(
→→→→→→→→→→→
∇+∇+∇=++∇=∇=++=
c учетом того, что
→→→→→→
=∇=∇=∇ kzjyix ,, получим
→→→→→→
=++= ckγjβiα)r,cgrad( .
8. Найти векторные линии поля
)()( constakaz2jayiaxMF =−−=
→→→→
.
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий в данном случае имеют вид:
az
dz
ay
dy
ax
dx
2
−=−=
Интегрируя уравнение
ay
dy
ax
dx
−=
, получим ln|x|+ln|y|=ln|c
1
|, или xy=c
1
. Решение уравнения
az
dz
ay
dy
2
=
приводит к результату
zcyили||c|z||y|
2
2
2
2
1
2
1
lnlnln =+=
. Следовательно, векторными
линиями поля являются линии пересечения гиперболических цилиндров с параболическими:
⎩
⎨
⎧
=
=
.
;
2
2
1
zcy
cxy
9. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости
→→→
−−= j1xx2ixyMa )()(
.
Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае
)( 1xx2
dy
xy
dx
−
−= ,
получим )()( 0cc
2
y
1x
2
2
≥=+− . Это эллипсы с осями, параллельными осям ко-
ординат, и с центром в точке (1, 0).
Упражнения
В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня
скалярного поля:
10.
22
yx9u −−= .
11.
)( полякогоэлектричеспотенциал
r
e
u =
.
12.
22
arcsin
zy
x
u
+
= .
13. )sin(
22
yxu −= .
14.
z
yx
u
22
+
=
.
15. Найти градиент скалярного поля:
а)
)000(Мточкевz4y2x4xyz3y2xu(x,y,z)
222
,,−+−−++=
.
б)
)121(Мточкевyy3yx3u(x,y,z)
432
,,+−=
. 
                                                               7


                   → →            →
7. Найти grad ( c , r ), где c − постоянный вектор.

                      →       →       →    →
Решение. Пусть c = α i + β j + γ k ; тогда

  → →                                     → →        →   → →   →                  →        →         →
( c , r ) = α x + β y + γ z; grad( c , r ) = ∇ ( c , r ) = ∇ (α x + β y + γ z) = α ∇ x + β ∇ y + γ ∇ z ,

                          →       → →          → →       →             → →       →     →    →    →
c учетом того, что ∇ x = i , ∇ y = j , ∇ z = k получим grad( c , r ) = α i + β j + γ k = c .

                                               →          →    →   →
8. Найти векторные линии поля F ( M ) = ax i − ay j − 2 az k (a = const ) .

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий в данном случае имеют вид:
                                           dx        dy           dz
                                                =−        =−
                                           ax        ay          2az
                       dx    dy
Интегрируя уравнение      = − , получим ln|x|+ln|y|=ln|c1|, или xy=c1. Решение уравнения
                       ax    ay
dy    dz
    =     приводит к результату ln |y| = 12 ln |z| + 12 ln |c 2| или y 2 = c 2 z . Следовательно, векторными
ay 2az
линиями поля являются линии пересечения гиперболических цилиндров с параболическими:
                                                ⎧ xy = c1 ;
                                                ⎨ 2
                                                ⎩ y = c 2 z.
9. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости
→            →                →
a ( M ) = xy i − 2 x( x − 1) j
                          .
Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае
dx         dy                             y2
    =−             , получим ( x − 1) 2 +    = c (c ≥ 0) . Это эллипсы с осями, параллельными осям ко-
 xy    2 x( x − 1)                        2
ординат, и с центром в точке (1, 0).

                                                          Упражнения

  В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня
скалярного поля:
10. u = 9 − x 2 − y 2 .
        e
11. u = (потенциал электрического поля ) .
        r
                   x
12. u = arcsin          .
                y + z2
                 2


13. u = sin( x 2 − y 2 ) .
         x2 + y2
14. u =           .
             z
15. Найти градиент скалярного поля:
а) u(x,y,z) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − xy − 4 x + 2 y − 4 z в точке М ( 0,0,0 ) .
б) u(x,y,z) = 3 x 2 y − 3 y 3 + y 4 в точке М ( 1,2,1 ) .

Страницы