Элементы теории поля: Электронное учебное пособие. Филиппенко В.И. - 5 стр.

                                                             5


          →         ∂ → ∂ → ∂ →
("набла"): ∇ =        i+     j + k , напоминающее по форме вектор, разложенный по базисным ор-
                   ∂x    ∂y     ∂z
    → →→                                                                           ∂ ∂ ∂
там i , j , k , где вместо координат вектора записаны операторы дифференцирования    , , .
                                                                                   ∂x ∂y ∂z
Это выражение называют векторным дифференциальным оператором или оператором Гамильто-
на.
                                                                                                    →
Если каждой точке М данной области Е соответствует определенный вектор a (M ) , то говорят,
                                                                                                        →
что в области Е задано векторное поле. В декартовой системе координат векторное поле a (M )
задается тремя функциями P,Q,R, определенными в области Е

                             →                         →                  →                 →
                             a ( M ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x, y , z ) k .

Здесь и в дальнейшем будем предполагать, что эти функции во всей области непрерывны вместе
с частными производными. Для плоского векторного поля:

                                          →                      →                →
                                          a ( M ) = P ( x, y ) i + Q ( x , y ) j .
                                     →
Векторной линией данного поля a (M ) называют такую линию ℓ, в каждой точке которой вектор
→
a (M ) имеет направление касательной к этой линии. Через каждую точку векторного поля про-
                         →
ходит (при условии, что | a ' (M)| ≠ 0 ) одна векторная линия. Совокупность всех векторных линий
определяется системой дифференциальных уравнений:
                                         dx             dy              dz
                                                  =               =                .
                                    P ( x, y , z ) Q ( x , y , z ) R ( x , y , z )

Векторные линии характеризуют векторные поля геометрически и дают известную информацию
                                      →
о структуре этого поля. Так, если a (M ) – стационарное поле скоростей текущей жидкости, то в
этом поле векторные линии, очевидно, будут являться траекториями частиц жидкости; называ-
                                                                              →
ются они в таком случае линиями тока. В векторном поле a ( M ) = grad F ( M ) векторные линии
нормальны в каждой точке поверхностям уровня F(x,y,z) = С; вдоль этих линий функция F(M)
изменяется быстрее всего. В случае плоского векторного поля семейство векторных линий опре-
деляется уравнением

                                               dx     dy
                                                    =       ; dz = 0 .
                                              P(x,y) Q(x,y)

                                                      Примеры

1. Найти линии уровня плоского поля u=xy.
Решение. Линии уровня определяются уравнением xy=С и представляют собой равносторонние
гиперболы. При С = 0 линиями уровня являются координатные оси Ох и Оу.
2. Найти поверхности уровня скалярного поля:

                                                                 x2 + y2
                                               u = arctg                 .
                                                                   z