Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 4 стр.

                                              4

                                         Введение
      Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциаль-
ных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например:
1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а
также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению
                     ∂ 2u    2⎛ ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ⎞
                                  2
                          = c ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ,                     (0.1)
                     ∂t 2      ⎝ ∂x ∂y   ∂z ⎠
где c − скорость распространения волн в данной среде;
2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и яв-
ления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:
                      ∂u    2⎛ ∂ u ∂ 2u ∂ 2 u ⎞
                                 2
                         = a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ ,                     (0.2)
                      ∂t      ⎝ ∂x ∂y   ∂z ⎠
3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотроп-
ном теле мы приходим к уравнению Пуассона
                        ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                            +    +     = − f ( x, y, z ).         (0.3)
                        ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (0.3) переходит в уравне-
ние Лапласа
                         ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                             +    +     =0                        (0.4)
                         ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетво-
ряют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и, соответственно, электри-
ческие заряды.
       Уравнения (0.1)-(0.4) называют основными уравнениями математической фи-
зики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга
физических явлений и решить ряд физических и технических задач.
       Функция u = u ( x, y , z ) , удовлетворяющая какому-либо из уравнений (0.1)-
(0.4), называется его решением.

       1. Понятие об общем решении уравнения в частных производных.

        Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:
 f ( x, y, y ' , y ' ' ,..., y ( n ) ) = 0. Его общий интеграл представляет собой некоторое
семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных
F ( x, y, C1 , C2 ,..., Cn ) = 0. Любое частное решение получается из него, если пара-
метрам C1 , C2 ,..., Cn придать определенные значения.
    У дифференциального уравнения в частных производных общее решение со-
держит произвольные функции, количество которых равно порядку уравнения.