Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 5 стр.

                                              5

       Пусть дано уравнение
                                ∂ 2u
                                     = 0.                                  (1.1)
                                ∂x∂y
Найдем его общий интеграл, т.е. функцию u ( x; y ), удовлетворяющую (1.1). Для
                                                   ∂ ⎛ ∂u ⎞
этого сначала запишем это уравнение в виде:           ⎜ ⎟ = 0. Поскольку производная
                                                   ∂x ⎜⎝ ∂y ⎠⎟
по переменной x от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя явля-
                                                             ∂u
ется     некоторой    произвольной       функцией      от    y:  = f ( y ). Поэтому
                                                             ∂y
u ( x, y ) = ∫ f ( y )dy. Но интегрируя произвольную функцию f ( y ), получим новую,
также произвольную функцию, скажем F ( y ), плюс произвольная функция φ (x)
( φ (x ) играет роль произвольной постоянной интегрирования в теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений). Таким образом, общий интеграл уравнения
второго порядка (1.1) u ( x, y ) = φ ( x ) + F ( y ) содержит две произвольные функции.
Чтобы теперь из общего решения u ( x; y ) найти определенное частное решение,
нужно найти конкретный вид функций φ (x ) и F ( y ) . Однако − и в этом состоит
причина существенного различия методов решения обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений и в частных производных − из-за чрезвычайной общности общего
решения уравнения в частных производных, как правило, очень трудно из него вы-
делить нужное конкретное решение.
                                           Примеры
1. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных производных
   ∂ 2u ( x; y )
                 = 0 , где u ( x; y ) − неизвестная функция двух независимых перемен-
      ∂x 2
   ных.
                                           ∂ ⎛ ∂u ⎞                        ∂u
Решение. Перепишем уравнение в виде:          ⎜ ⎟ = 0. Отсюда видно, что        не за-
                                           ∂x ⎝ ∂x ⎠                       ∂x
висит от x , так как частная производная от нее по x , равна нулю. Поэтому
∂u                                                                   ∂u
   = C1 ( y ) где C1 ( y ) − произвольная функция от y . В уравнении    = C1 ( y )
∂x                                                                   ∂x

                        ∂u
частная производная        берется по x , а y считается постоянной. Взяв интеграл от
                        ∂x
левой и правой частей, получим решение поставленной задачи:
u ( x, y ) = ∫ C1 ( y )dx = xC1 ( y ) + C2 ( y ), где C1 ( y ) и C2 ( y ) − произвольные функ-
ции от y . Если найденную функцию u ( x, y ) два раза продифференцировать по x ,