Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

6
то получим
,0
2
2
=
∂
∂
x
u
и, следовательно, найденная функция является общим реше-
нием данного уравнения.
2. Найти общее решение уравнения
.
2
2
yx
yx
u
−=
∂∂
∂
Решение. Переписав уравнение в виде:
yx
x
u
y
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
2
и интегрируя левую и
правую части по
y
(считая в это время
x
постоянным), получим:
∫
+−=−=
∂
∂
).(
2
)(
1
2
22
xC
y
yxdyyx
x
u
Интегрируя теперь по x полученное уравне-
ние (считая в это время
y постоянным), получим:
∫
++−=+−=
∗
).()(
23
))(
2
(),(
21
23
1
2
2
yCxC
xyyx
dxxC
y
yxyxu
Здесь
∫
=
∗
.)()(
11
dxxCxC Таким образом, общим решением рассматриваемого уравнения
будет функция:
),()(
23
),(
21
23
yCxC
xyyx
yxu ++−=
∗
где )(
1
xC
∗
и )(
2
yC − про-
извольные функции, причем
)(
1
xC
∗
дифференцируема.
3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных
.2
2
x
u
yx
u
∂
∂
=
∂∂
∂
Решение. Переписав уравнение в виде
02 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
∂
u
y
u
x
и интегрируя левую и пра-
вую части по переменной
x, получим:
).(2
1
yCu
y
u
=−
∂
∂
В этом уравнении
y
u
∂
∂
можно рассматривать как обычную производную по
y , а x при этом считать пара-
метром. Тогда уравнение перепишется в виде:
).(2
1
yCu
dy
du
=−
Мы получили не-
однородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, получаем:
(
)
).()()()(),(
1
2
2
2
12
2
yCexCdyeyCxCeyxu
y
dydy
∗
−
+=+=
∫
∫∫
Таким образом,
),()(),(
1
2
2
yCexCyxu
y
∗
+= где )(
2
xC и )(
1
yC
∗
− произвольные
функции.
Упражнения
4.
).(')()()(),( yy
x
y
x
y
x
u
ψ
ψ
−
+
+
=
Проверить, что
y
u
yx
u
yx
∂
∂
=
∂∂
∂
−
2
)(
                                                                  6

           ∂ 2u
то получим      = 0, и, следовательно, найденная функция является общим реше-
           ∂x 2
нием данного уравнения.
                                            ∂ 2u
2. Найти общее решение уравнения                  = x 2 − y.
                                           ∂x∂y
                                                  ∂ ⎛ ∂u ⎞
                                                    ⎜ ⎟ = x − y и интегрируя левую и
                                                                 2
Решение. Переписав уравнение в виде:
                                                 ∂y ⎝ ∂x ⎠
правую части по y (считая в это время x постоянным), получим:
∂u                               y2
     = ∫ ( x 2 − y )dy = x 2 y −    + C1 ( x). Интегрируя теперь по x полученное уравне-
∂x                               2
ние (считая в это время y постоянным), получим:
                       y2                 x3 y y 2 x
                  2
u ( x, y ) = ∫ ( x y −    + C1 ( x))dx =        −       + C1∗ ( x) + C2 ( y ). Здесь
                       2                    3      2
   ∗
C1 ( x) = ∫ C1 ( x)dx. Таким образом, общим решением рассматриваемого уравнения
                        x3 y y 2 x
будет функция: u ( x, y ) = −        + C1∗ ( x) + C2 ( y ), где C1∗ ( x) и C2 ( y ) − про-
                         3       2
                            ∗
извольные функции, причем C1 ( x ) дифференцируема.
                                                                       ∂ 2u      ∂u
3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных                  =2 .
                                                                       ∂x∂y      ∂x
                                       ∂ ⎛ ∂u         ⎞
Решение. Переписав уравнение в виде       ⎜⎜ − 2u ⎟⎟ = 0 и интегрируя левую и пра-
                                      ∂x ⎝ ∂y         ⎠
                                          ∂u                                           ∂u
вую части по переменной x, получим:            − 2u = C1 ( y ). В этом уравнении
                                           ∂y                                          ∂y
можно рассматривать как обычную производную по y , а x при этом считать пара-
                                                  du
метром. Тогда уравнение перепишется в виде:           − 2u = C1 ( y ). Мы получили не-
                                                  dy
однородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, получаем:
u ( x, y ) = e ∫
                   2 dy
                          (C ( x) + ∫ C ( y)e
                            2          1
                                                − ∫ 2 dy
                                                              )
                                                           dy = C2 ( x)e 2 y + C1∗ ( y ).
Таким образом, u ( x, y ) = C2 ( x )e
                                                  2y
                                                       + C1∗ ( y ), где C2 ( x) и C1∗ ( y ) − произвольные
функции.

                                                    Упражнения
                                                                                            ∂ 2u ∂u
4. u ( x, y ) = ϕ ( x ) + ψ ( y ) + ( x − y )ψ ' ( y ). Проверить, что ( x − y )                =
                                                                                            ∂x∂y ∂y

Страницы