Уравнения математической физики. Филиппенко В.И - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

7
(
ϕ
и
ψ
− дважды дифференцируемые функции).
5. Исключить произвольные функции
φ
и
ψ
из семейства:
).()(),( a
t
x
a
t
x
t
x
u +
+
−=
ψ
φ
Ответ.
.0
2
2
2
2
2
=
∂
−
∂
∂
x
u
a
t
u
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными
производными:
6.
.0
2
=
∂∂
∂
yx
u
Ответ.
).()(),(
21
yCxCyxu
+
=
7.
.
2
yx
yx
u
+=
∂∂
∂
Ответ.
).()(
22
),(
21
22
yCxC
xyyx
yxu +++=
8.
.
2
2
2
yx
x
u
+=
∂
∂
Ответ.
.)(
212
),(
21
24
yCyxC
yxx
yxu +++=
9.
.
2
2
yx
e
y
u
+
=
∂
∂
Ответ.
).()(),(
21
xCxyCeyxu
yx
++=
+
10.
.0
1
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
y
u
xyx
u
Ответ.
).(
1
)(),(
21
yC
x
xCyxu +=
11.
.2
2
x
u
y
yx
u
∂
∂
=
∂∂
∂
Ответ.
).()(),(
21
2
yCexCyxu
y
+=
12.
.5
2
y
u
yx
u
∂
∂
=
∂∂
∂
Ответ.
.)()(),(
5
21
x
eyCxCyxu +=
13.
.2
2
2
=
∂
∂
x
u
Ответ.
).()(),(
21
2
yCxyCxyxu ++=
                                                    7

( ϕ и ψ − дважды дифференцируемые функции).
5. Исключить произвольные функции φ и ψ из семейства:
u ( x, t ) = φ ( x − at ) + ψ ( x + at ).
            ∂ 2u          2
                      2 ∂ u
Ответ.            −a         = 0.
            ∂t 2        ∂x 2
     Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными
производными:
    ∂ 2u
6.         = 0.
   ∂x∂y
Ответ. u ( x, y ) = C1 ( x) + C2 ( y ).
   ∂ 2u
7.        = x + y.
   ∂x∂y
                       x 2 y xy 2
Ответ. u ( x, y ) =          +      + C1 ( x) + C2 ( y ).
                        2        2
   ∂ 2u
8.     2
          = x 2 + y.
   ∂x
                       x 4 yx 2
Ответ. u ( x, y ) =        +       + xC1 ( y ) + C2 y.
                       12      2
   ∂ 2u
9.        = ex+ y .
   ∂y  2

                        x+ y
Ответ. u ( x, y ) = e        + yC1 ( x) + C2 ( x).
     ∂ 2u 1 ∂u
10.         +         = 0.
    ∂x∂y x ∂y
                                 1
Ответ. u ( x, y ) = C1 ( x) + C2 ( y ).
                                 x
        2
     ∂ u            ∂u
11.         = 2y .
    ∂x∂y            ∂x
                                 y2
Ответ. u ( x, y ) = C1 ( x )e         + C2 ( y ).
    ∂ 2u      ∂u
12.       =5 .
    ∂x∂y      ∂y
                                        5x
Ответ. u ( x, y ) = C1 ( x ) + C2 ( y )e .
    ∂ 2u
13.      = 2.
    ∂x 2
                     2
Ответ. u ( x, y ) = x + C1 ( y ) x + C2 ( y ).

Страницы